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第3讲 圆的方程
1．已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
解析：选A.AB的中点坐标为(0，0)，
|AB|＝＝2，
所以圆的方程为x2＋y2＝2.
2．(2016·合肥质检)过坐标原点O作单位圆x2＋y2＝1的两条互相垂直的半径OA，OB，若在该圆上存在一点C，使得＝a＋b(a，b∈R)，则以下说法正确的是( )
A．点P(a，b)一定在单位圆内
B．点P(a，b)一定在单位圆上
C．点P(a，b)一定在单位圆外
D．当且仅当ab＝0时，点P(a，b)在单位圆上
解析：选B.因为2＝(a＋b)2，且⊥，所以a2＋b2＋2ab ·＝a2＋b2＝1，因此点P(a，b)一定在单位圆上，故选B.
3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
解析：选A.由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a，1)，a＞0，又圆与直线4x－3y＝0相切，可得＝1，解得a＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
4．(2016·辽宁省五校联考)直线x－2y－2k＝0与直线2x－3y－k＝0的交点在圆x2＋y2＝9的外部，则k的取值范围为( )
A．k＜－或k＞ B．－＜k＜
C．－＜k＜ D．k＜－或k＞
解析：选A.解方程组得交点坐标为(－4k，－3k)．由题意知(－4k)2＋(－3k)2＞9，解得k＞或k＜－，故选A.
5．已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成两段弧长的比为1∶2，则圆C的方程为( )
A.＋y2＝ B.＋y2＝
C．x2＋＝ D．x2＋＝
解析：选C.由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为π，设圆心(0，a)，半径为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，即a＝±，故圆C的方程为x2＋＝.
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6．(2016·洛阳统考)若直线l：ax＋by＋1＝0(a≥0，b≥0)始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则a2＋b2－2a－2b＋3的最小值为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选B.因为直线ax＋by＋1＝0始终平分圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，所以圆心(－2，－1)在直线ax＋by＋1＝0上，从而2a＋b－1＝0.a2＋b2－2a－2b＋3＝(a－1)2＋(b－1)2＋1，而(a－1)2＋(b－1)2表示点(1，1)与直线2a＋b－1＝0上任一点距离的平方，其最小值d＝＝，所以a2＋b2－2a－2b＋3的最小值为＋1＝，故选B.
7．(2014·高考陕西卷)若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．
解析：圆C的圆心为(0，1)，半径为1，标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
答案：x2＋(y－1)2＝1
8．(2016·太原模拟)已知点P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，点C是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心，那么|PC|的最小值是________．
解析：点C到直线3x＋4y＋8＝0上的动点P的最小距离即为点C到直线3x＋4y＋8＝0的距离，而圆心C的坐标是(1，1)，因此最小距离为＝3.
答案：3
9．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．
解析：因为圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，
所以其圆心为(－1，2)，且5－a>0，
即a
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