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高考大题专攻练
9.解析几何(A组)
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1.如图,设点A,F1,F2分别为椭圆+=1的左顶点和左、右焦点,过点A作斜率为k的直线交椭圆于另一点B,连接BF2并延长交椭圆于点C.
(1)求点B的坐标(用k表示).
(2)若F1C⊥AB,求k的值.
【解析】(1)设点B(xB,yB),直线AB的方程为y=k(x+2),
联立+=1得,(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,
所以-2xB=,即xB=,
所以yB=k(xB+2)=,
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即B.
(2)易知F2(1,0),=,=-,
所以直线BF2,CF1的方程分别为y=(x-1),
y=-(x+1),
由,解得C(8k2-1,-8k),
代入+=1,
得192k4+208k2-9=0,即(24k2-1)(8k2+9)=0,
得k2=,
所以k=±.
2.已知动圆P与圆E:(x+)2+y2=25,圆F:(x-)2+y2=1都内切,记圆心P的轨迹为曲线C.
世纪金榜导学号46854423
(1)求曲线C的方程.
(2)直线l与曲线C交于点A,B,点M为线段AB的中点,若|OM|=1,求△AOB面积的最大值.
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【解题导引】(1)确定|PE|+|PF|=4>2,可得P的轨迹是以E,F为焦点的椭圆,且a=2,c=,b=1,即可求C的方程.
(2)将直线方程代入椭圆方程,由根与系数的关系及中点坐标公式,即可求得M点坐标,由|OM|=1,可得n2=,由三角形面积公式,结合换元、配方法即可求得△AOB面积的最大值.[来源:Z。xx。k.Com]
【解析】(1)设动圆P的半径为r,由已知|PE|=5-r,|PF|=r-1,
则有|PE|+|PF|=4>2,
所以P的轨迹是以E,F为焦点的椭圆,且a=2,c=,b=1
所以曲线C的方程为+y2=1.[来源:学&科&网]
(2)设直线l:x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,
整理得:(4+m2)y2+2mny+n2-4=0①
y1+y2=-,y1·y2=,x1+x2=,
由中点坐标公式可知:M
因为|OM|=1,所以n2=②,
设直线l与x轴的交点为D(n,0),
则△AOB面积S2=n2(y1-y2)2=,
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设t=m2+16(t≥16),
则S2=48,当t=24时,即m=±2时,
△AOB的面积取得最大值1.
【加固训练】已知椭圆C:+y2=1的左焦点为F,不垂直于x轴且不过F点的直线l与椭圆C相交于A,B两点.
(1)如果直线FA,FB的斜率之和为0,则动直线l是否一定经过一定点?若过一定点,则求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
(2)如果FA⊥FB,原点到直线l的距离为d,求d的取值范围.
【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为:y=kx+b,
联立
整理得(2k2+1)x2+4kbx+2(b2-1)=0,x1+x2=,x1x2=,[来源:学_科_网]
Δ=8(2k2+1-b2)>0 ①,[来源:学_科_网Z_X_X_K]
kFA+kFB=+
=.
所以(kx2+b)(x1+1)+(kx1+b)(x2+1)
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=2kx1x2+(k+b)(x1+x2)+2b=2k×-(k+b)×+2b=0,
所以b=2k,直线AB的方程为:y=kx+2k,
则动直线l一定经过一定点(-2,0).
(2)由(1)得·=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)
=(x1+1)(x2+1)+(kx1+b)(kx2+b)
=(1+k2)x1x2+(kb+1)(x1+x2)+b2+1
=(k2+1)×-(kb+1)×+b2+1=0.
所以3b2-4kb-1=0,k=代入①得①恒成立.[来源:学科网]
又d==
=
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