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高考大题专攻练
8.立体几何(B组)
大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点![来源:学§科§网Z§X§X§K]
1.由四棱柱ABCD -A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD,
世纪金榜导学号46854422
(1)证明:A1O∥平面B1CD1.
(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.
【解题导引】(1)取B1D1中点O1,连接A1O1,CO1,推导出A1O1OC,从而四边形OCO1A1是平行四边形,进而A1O∥CO1,由此能证明A1O∥平面B1CD1.
(2)推导出BD⊥A1E,AO⊥BD,EM⊥BD,从而BD⊥平面A1EM,再由BD∥B1D1,得B1D1⊥平面A1EM,由此能证明平面A1EM⊥平面B1CD1.
【证明】(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,
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由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,
所以A1O1∥OC,A1O1=OC,
因此四边形A1OCO1为平行四边形,[来源:学。科。网]
所以A1O∥O1C,[来源:学科网]
又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,
所以A1O∥平面B1CD1.
(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,
所以EM⊥BD,
又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
所以A1E⊥BD,
因为B1D1∥BD,
所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1,
又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,[来源:Z+xx+k.Com]
所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1⊂平面B1CD1,
所以平面A1EM⊥平面B1CD1.
2.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.
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(1)求证:PA⊥BD.
(2)求证:平面BDE⊥平面PAC.
【解题导引】(1)运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC,再由性质定理即可得证.
(2)要证平面BDE⊥平面PAC,可证BD⊥平面PAC,由(1)运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC,再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC,运用面面垂直的性质定理,即可得证.
【解析】(1)因为PA⊥AB,PA⊥BC,
AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,且AB∩BC=B,
所以PA⊥平面ABC,BD⊂平面ABC,所以PA⊥BD.
(2)因为AB=BC,D是AC的中点,所以BD⊥AC,[来源:Zxxk.Com]
由(1)知PA⊥平面ABC,
因为PA⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABC,
因为平面PAC∩平面ABC=AC,BD⊂平面ABC,BD⊥AC,
所以BD⊥平面PAC,
因为BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.
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