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高考大题专攻练
5.概率与统计(A组)
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1.为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名五年级学生进行了问卷调查得到如下列联表(平均每天喝500mL以上为常喝,体重超过50kg为肥胖):
常喝
不常喝
总计
肥胖
2
[来源:Z|xx|k.Com]
不肥胖
18
总计
30
已知在全部30人中随机抽取1人,抽到肥胖的学生的概率为,
(1)请将上面的列联表补充完整.
(2)是否在犯错误概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?请说明你的理由.
(3)若常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有2名女生,现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中抽取2人参加电视节目,则正好抽到一男一女的概率是多少?
参考数据:
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P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005[来源:学_科_网Z_X_X_K]
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d)
【解题导引】(1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人,求出x的值,填表即可.
(2)计算K2,对照数表得出结论.
(3)用列举法计算基本事件数,求出对应的概率值.
【解析】(1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人,则=,解得x=6;
填表如下:
常喝
不常喝
总计
肥胖
6
2
8
不肥胖
4
18
22
总计
10
20
30
(2)由已知数据可求得:K2=≈8.523>7.879,
因此在犯错误概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.
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(3)设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A,B,C,D,女生为e,f,则任取两人有[来源:学+科+网Z+X+X+K]
AB,AC,AD,Ae,Af,BC,BD,Be,Bf,CD,Ce,Cf,De,Df,ef共15种.
其中一男一女有Ae,Af,Be,Bf,Ce,Cf,De,Df共8种,
故抽出一男一女的概率是P=.
2.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如表(单位:辆):
世纪金榜导学号46854419
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150[来源:学#科#网]
z
标准型
300[来源:学科网]
450
600
按类别分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
(1)求z的值.
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率.
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分x的值如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数xi(1≤i≤8,i∈N),设样本平均数为,求|xi-|≤0.5的概率.
【解题导引】(1)利用分层抽样满足每个个体被抽到的概率相等,列出方
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程求出这个月共生产轿车数量n,再根据总的轿车数量求出z的值.
(2)先利用分层抽样满足每个个体被抽到的概率相等,求出抽取一个容量为5的样本中舒适型轿车的辆数,利用列举的方法求出总基本事件数及至少有1辆舒适型轿车的基本事件数,利用古典概型的概率公式求出概率.
(3)利用平均数公式求出数据组的平均数,通过列举得到该数据组中与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数据,利用古典概型的概率公式求出概率.
【解析】(1)设该厂这个月共生产轿车n辆,
由题意得=,所以n=2000.
则z=2000-400-600-600=400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车,由题意=,
得a=2.因此抽取的容量为5的样本中,有2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车.
用A1,A2表示2辆舒适型轿车,用B1,B2,B3表示3辆标准型轿车,用E表示事件“在该样本中任取2辆,其中至少有1辆舒适型轿车”,则基本事件空间包含的基本事件有:
(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),
(B2,B3),共10个.
事件E包含的基本事件有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),
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(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共7个.
故P(E)=,即所求概率为.
(3)样本平均数=×(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.
设D表示事件“从样本中任取一数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”,则基本事件空间中有8个基本事件,事件D包括的基本事件有:9.4,8.6,9.2,
8.7,9.3,9.0共6个,所以P(D)==,
即所求概率为.
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