第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理的验证
1.(2018滨州)在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为( A )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
2.如图,在5×5的方格中,有一个正方形ABCD,假设每一个小方格的边长为1个单位长度,则正方形的边长为 .
3.(2018德州)如图,OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,OC=5,OM=4,则点C到射线OA的距离为 3 .
4.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是 10 .
5.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,将△ABC折叠,使点B恰好落在边AC上,与点B′重合,AE为折痕,求EB′的长度.
解:根据折叠可得BE=EB′,AB′=AB=3,
设BE=EB′=x,则EC=4-x,
因为∠B=90°,AB=3,BC=4,
所以在Rt△ABC中,由勾股定理得
AC===5,
所以B′C=5-3=2,
3
在Rt△B′EC中,由勾股定理得
x2+22=(4-x)2,解得x=1.5.
所以EB′的长度是1.5.
6.(教材改编)如图,在△ABC中,∠A=30°,AC=2,∠B=60°,求点C到AB的距离和△ABC的面积.
解:过点C作CD⊥AB,则∠ADC=90°,
因为∠A=30°,AC=2,
所以CD=,
在△ABC中,因为∠A=30°,∠B=60°,
所以∠ACB=90°,
在Rt△ABC中,设BC=x,
则AB=2x,
因为AB2=BC2+AC2,
所以(2x)2=x2+(2)2,
x=2,
所以S△ABC=AC·BC=×2×2=2.
7.如图(1),在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°,则有a2+b2=c2;如图(2),△ABC为锐角三角形时,小明猜想a2+b2>c2,理由如下:
设CD=x,在Rt△ADC中,AD2=b2-x2,
在Rt△ADB中,AD2=c2-(a-x)2,
则b2-x2=c2-(a-x)2,所以a2+b2=c2+2ax,
因为a>0,x>0,所以2ax>0,所以a2+b2>c2,
所以当△ABC为锐角三角形时a2+b2>c2.
所以小明的猜想是正确的.
(1)请你猜想,当△ABC为钝角三角形时,a2+b2与c2的大小关系;
(2)证明你猜想的结论是否正确.
温馨提示:在图(3)中,作AC边上的高.
3
(1)解:若△ABC是钝角三角形,∠C为钝角,
则有a2+b20,x>0,
所以2bx>0,
所以a2+b2
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