章末小结与提升
类型
1
类型
2
类型
3
类型
4
勾股定理
典例
1
如图
,
已知
∠
ABD=
∠
C=
90
°
,
AD=
12,
AC=BC
,
∠
DAB=
30
°
.
求
BC
的长
.
类型
1
类型
2
类型
3
类型
4
【针对训练】
1
.
如图是用
4
个全等的直角三角形与
1
个小正方形镶嵌而成的正方形图案
,
已知大正方形面积为
49,
小正方形面积为
4,
若用
x
,
y
表示直角三角形的两直角边
(
x>y
),
下列四个说法
:
①
x
2
+y
2
=
49;
②
x-y=
2;
③
2
xy+
4
=
49;
④
x+y=
9
.
其中说法正确的是
(
B
)
A
.
①②
B
.
①②③
C
.
①②④
D
.
①②③④
类型
1
类型
2
类型
3
类型
4
2
.
如图
,
P
为等腰
△
ABC
内一点
,
过点
P
分别作三条边的垂线
,
垂足分别为
D
,
E
,
F
,
已知
AB=AC=
10,
BC=
12,
且
PD
∶
PE
∶
PF=
1
∶
3
∶
3,
则
AP
的长为
(
B
)
类型
1
类型
2
类型
3
类型
4
3
.
(
绵阳中考
)
如图
,
沿
AC
方向开山修建一条公路
,
为了加快施工进度
,
要在小山的另一边寻找点
E
同时施工
,
从
AC
上的一点
B
取
∠
ABD=
150
°
,
沿
BD
的方向前进
,
取
∠
BDE=
60
°
,
测得
BD=
520 m,
BC=
80 m,
并且
AC
,
BD
和
DE
在同一平面内
,
那么公路
CE
段的长度为
(
C
)
类型
1
类型
2
类型
3
类型
4
4
.
如图
,
在四边形
ABCD
中
,
AB=AD=
3,
DC=
4,
∠
A=
60
°
,
∠
D=
150
°
,
试求
BC
的长度
.
解
:
连接
DB
,
∵
AB=AD
,
∠
A=
60
°
,
∴
△
ABD
是等边三角形
,
∴
BD=AD=
3,
∠
ADB=
60
°
,
又
∵
∠
ADC=
150
°
,
∴
∠
CDB=
∠
ADC-
∠
ADB=
150
°
-
60
°
=
90
°
,
类型
1
类型
2
类型
3
类型
4
勾股定理的逆定理
典例
2
在
△
ABC
中
,
a=
2
n
2
+
2
n
,
b=
2
n+
1,
c=
2
n
2
+
2
n+
1(
n>
0 )
为三边
,
这个三角形是直角三角形吗
?
【解析】
∵
c-a=
( 2
n
2
+
2
n+
1 )
-
( 2
n
2
+
2
n
)
=
1
>
0,
c-b=
( 2
n
2
+
2
n+
1 )
-
( 2
n+
1 )
=
2
n
2
>
0,
∴
c
边为三角形的最大边
,
又
∵
c
2
=
( 2
n
2
+
2
n+
1 )
2
=
4
n
4
+
8
n
3
+
8
n
2
+
1,
a
2
+b
2
=
( 2
n
2
+
2
n
)
2
+
( 2
n+
1 )
2
=
4
n
4
+
8
n
3
+
8
n
2
+
1,
∴
a
2
+b
2
=c
2
.
∴
△
ABC
为直角三角形
.
类型
1
类型
2
类型
3
类型
4
【针对训练】
1
.
在
△
ABC
中
,
a=
3,
b=
7,
c
2
=
58,
则
S
△
ABC
=
10
.
5
.
2
.
已知在
△
ABC
中
,
AD
⊥
BC
于点
D
,
若
AB=
13,
AC=
8,
则
BD
2
-DC
2
=
105
.
3
.
如图
,
在
△
ABC
中
,
D
为边
BC
的中点
,
AB=
5,
AD=
6,
AC=
13
.
求证
:
AB
⊥
AD.
解
:
延长
AD
至点
E
,
使
DE=AD
,
连接
CE
,
BE.
∵
D
为
BC
的中点
,
∴
CD=BD.
又
∵
AD=DE
,
∠
ADC=
∠
BDE
,
∴
△
ADC
≌
△
EDB
,
∴
BE=AC=
13
.
在
△
ABE
中
,
AE=
2
AD=
12,
∴
AE
2
+AB
2
=
12
2
+
5
2
=
169
.
又
∵
BE
2
=
13
2
=
169,
∴
AE
2
+AB
2
=BE
2
,
∴
△
ABE
是直角三角形
,
且
∠
BAE=
90
°
,
即
AB
⊥
AD.
类型
1
类型
2
类型
3
类型
4
勾股数
1
.
若
3,4,
a
和
5,
b
,13
是两组勾股数
,
则
a+b
的值是
17
.
2
.
毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式
,
根据该公式可以构造出如下勾股数组
:( 3,4,5 ),( 5,12,13 ),( 7,24,25 ),
…
.
分析上面勾股数组可以发现
,4
=
1
×
( 3
+
1 ),12
=
2
×
( 5
+
1 ),24
=
3
×
( 7
+
1 ),
…
,
分析上面规律
,
第
5
个勾股数组为
( 11,60,61 )
.
类型
1
类型
2
类型
3
类型
4
逆命题与逆定理
典例
3
写出下列各命题的逆命题
,
并判断逆命题的真假
.
( 1 )
如果
a
,
b
都是无理数
,
那么
ab
也是无理数
;
( 2 )
三边分别相等的两个三角形全等
.
【解析】
( 1 )
逆命题
:
如果
ab
是无理数
,
那么
a
,
b
都是无理数
,
此命题是假命题
.
( 2 )
逆命题
:
如果两个三角形全等
,
那么它们的对应边分别相等
,
此命题是真命题
.
类型
1
类型
2
类型
3
类型
4
【针对训练】
1
.
下列命题
:
①
若
>
1,
则
a>b
;
②
若
a+b=
0,
则
|a|=|b|
;
③
等边三角形的三个内角都相等
;
④
底角相等的两个等腰三角形全等
.
其中原命题与逆命题均为真命题的有
(
A
)
A.1
个
B.2
个
C.3
个
D.4
个
类型
1
类型
2
类型
3
类型
4
2
.
说出定理
“
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
”
的逆命题并证明这个逆命题是真命题
.
【解析】
“
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
”
的逆命题为
“
到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上
”
.
此逆命题为真命题
.
已知
:
如图
,
CA=CB.
求证
:
点
C
在线段
AB
的垂直平分线上
.
证明
:
作
CD
⊥
AB.
∵
∠
ADC=
∠
BDC=
90
°
,
在
Rt
△
ADC
和
Rt
△
BDC
中
,
∴
Rt
△
ADC
≌
Rt
△
BDC
,
∴
AD=BD
,
∴
CD
垂直平分
AB
,
即点
C
在线段
AB
的垂直平分线上
.
微信/支付宝扫码支付