第
2
课时
勾股定理的逆定理的应用
知识点
1
知识点
2
勾股定理逆定理的实际应用
1
.
一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰、底及底边上的高
,
并按顺序记录下数据
,
量完后
,
不小心与其他记录的数据记混了
,
请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据
(
B
)
A.13,10,10 B.13,10,12
C.13,12,12 D.13,10,11
2
.
一辆汽车从点
A
出发沿正东方向行驶
30 km
到达点
B
,
然后转向行驶
40 km
到达点
C
,
最后从点
C
沿
CA
方向直接回到出发点
A.
如果汽车从出发到返回共行驶了
120 km,
那么
BC
的方向是
(
D
)
A.
正东或正西
B.
正南
C.
正北
D
.
正南或正北
知识点
1
知识点
2
勾股数
3
.
下列各组数是勾股数的是
(
C
)
A
.
6,7,8
B
.
C
.
7,24,25 D
.
0
.
3,0
.
4,0
.
5
4
.
能与
8,15
组成一组勾股数的数是
17
.
5
.
某中学旁边有一块三角形空地
,
为了保持水土
,
美化环境
,
全校师生一起动手
,
在空地的三条边上栽上了树苗
(
如图
)
.
已知三边上的树苗数分别为
6,14,13,
空地的三个角均有一棵树
,
且每条边上的树苗间距均为
1
米
,
那么这块空地的形状为
(
C
)
A.
锐角三角形
B
.
钝角三角形
C.
直角三角形
D
.
不能确定
6
.
有一块薄铁皮
ABCD
,
∠
B=
90
°
,
各边的尺寸如图所示
,
若沿对角线
AC
剪开
,
得到两个三角形铁皮
,
则
△
ACD
的形状是
(
C
)
A.
钝角三角形
B
.
锐角三角形
C.
直角三角形
D
.
等腰三角形
7
.
我国古代有这样一道数学题
:“
枯木一根直立地上
,
高
2
丈
,
周
3
尺
,
有葛藤自根缠绕而上
,5
周而达其顶
.
问葛藤之长几何
?”
这里
1
丈
=
10
尺
,
葛藤之长指它的最短长度
.
解题时
,
枯木视为圆柱体
(
如图所示
)
周
3
尺指圆柱体底面周长
3
尺
.
那么葛藤的长是
25
尺
.
8
.
现有两根木棒的长度分别是
40 cm
和
50 cm,
若要钉成一个三角形木架
,
其中有一个角为直角
,
则所需木棒的长度的最大值为
cm
.
9
.
观察下列勾股数
第一组
:3
=
2
×
1
+
1,4
=
2
×
1
×
( 1
+
1 ),5
=
2
×
1
×
( 1
+
1 )
+
1;
第二组
:5
=
2
×
2
+
1,12
=
2
×
2
×
( 2
+
1 ),13
=
2
×
2
×
( 2
+
1 )
+
1;
第三组
:7
=
2
×
3
+
1,24
=
2
×
3
×
( 3
+
1 ),25
=
2
×
3
×
( 3
+
1 )
+
1;
第四组
:9
=
2
×
4
+
1,40
=
2
×
4
×
( 4
+
1 ),41
=
2
×
4
×
( 4
+
1 )
+
1;
…
观察以上各组勾股数的组成特点
,
第
7
组勾股数是
15,112,113
.
(
只填数
,
不填等式
)
10
.
如图
,
某港口位于东西方向的海岸线上
.
“
远航
”
号、
“
海天
”
号轮船同时离开港口
,
各自沿固定方向航行
,“
远航
”
号每小时航行
16
海里
,“
海天
”
号每小时航行
12
海里
,
它们离开港口
1
.
5
小时后相距
30
海里
.
如果知道
“
远航
”
号沿东北方向航行
,
能知道
“
海天
”
号沿哪个方向航行吗
?
解
:
根据题意
,
得
PQ=
16
×
1
.
5
=
24
海里
,
PR=
12
×
1
.
5
=
18
海里
,
QR=
30
海里
,
∵
24
2
+
18
2
=
30
2
,
即
PQ
2
+PR
2
=QR
2
,
∴
∠
QPR=
90
°
.
∵
“
远航号
”
沿东北方向航行
,
即
∠
QPS=
45
°
,
∴
∠
SPR=
45
°
,
即
“
海天
”
号沿西北方向航行
.
11
.
已知三条线段的长分别为
a
,
a+
1,
a+
2
.
( 1 )
当
a=
3
时
,
证明这三条线段可以组成一个直角三角形
.
( 2 )
若这三条线段可以组成一个三角形
,
求
a
的取值范围
.
解
:( 1 )
当
a=
3
时
,
a+
1
=
4,
a+
2
=
5,
∵
3
2
+
4
2
=
5
2
,
∴
这三条线段可以组成一个直角三角形
.
( 2 )
根据三角形的三边关系
,
得
a+a+
1
>a+
2,
解得
a>
1
.
故
a
的取值范围是
a>
1
.
12
.
如图
,
李叔叔想要检测雕塑底座正面的边
AD
和
BC
是否分别垂直于底边
AB
,
但他随身只带了有刻度的卷尺
.
( 1 )
你能替他想办法完成任务吗
?
( 2 )
李叔叔量得
AD
长
30
厘米
,
AB
长
40
厘米
,
BD
长
50
厘米
,
则
AD
边垂直于
AB
边吗
?
解
:( 1 )
分别测量
AD
,
AB
,
BD
,
AC
,
BC
的长
,
利用勾股定理计算即可
.
( 2 )
垂直
.
理由
:
连接
BD.
∵
30
2
+
40
2
=
50
2
,
∴
AD
2
+AB
2
=BD
2
,
∴
△
ABD
为直角三角形
,
即
AD
⊥
AB
.
13
.
如图
,
某开发区有一块四边形空地
ABCD
,
现计划在空地上种植草皮
,
经测量
,
∠
B=
90
°
,
AB=
20
m,
BC=
15 m,
CD=
7 m,
AD=
24 m
.
若每平方米草皮需要
200
元
,
则种植这片草皮需要多少元
?
14
.
我们把满足方程
x
2
+y
2
=z
2
的正整数的解
(
x
,
y
,
z
)
叫做勾股数
,
如
( 3,4,5 )
就是一组勾股数
.
( 1 )
请你再写出两组勾股数
;
( 2 )
在研究勾股数时
,
古希腊的哲学家柏拉图曾指出
:
如果
n
表示大于
1
的整数
,
x=
2
n
,
y=n
2
-
1,
z=n
2
+
1,
那么以
x
,
y
,
z
为三边的三角形为直角三角形
(
即
x
,
y
,
z
为勾股数
),
请你加以证明
.
解
:( 1 )( 5,12,13 ),( 8,15,17 )
.
(
答案不唯一
,
合理即可
)
( 2 )
x
2
+y
2
=
( 2
n
)
2
+
(
n
2
-
1 )
2
=
4
n
2
+n
4
-
2
n
2
+
1
=n
4
+
2
n
2
+
1
=
(
n
2
+
1 )
2
=z
2
,
即以
x
,
y
,
z
为三边的三角形为直角三角形
(
即
x
,
y
,
z
为勾股数
)
.
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