第9章 多边形
9.3.2 用多种正多边形铺设地面
1．[2018春·商水县期末]某广场准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖铺满地面，在每个顶点的周围，正方形和正三角形地砖的块数分别是( )
A．1、2 B．2、1
C．2、2 D．2、3
2．如图是一块正方形地板砖，上面的图案由一个小正方形和四个等腰梯形组成．小明家的地面是由这样的地板砖镶嵌而成的，小明发现地板上有正八边形图案，那么地板上的两个正八边形图案需要这样的地板砖至少( )
A．8块 B．9块
C．11块 D．12块
3．用正三角形与正四边形铺满平地，设在每一个顶点周围有m个正三角形，有n个正四边形，则m、n满足的关系式是( )
A．2m＋3n＝12
B．m＋n＝6
C．m＋n＝8
D．m＋2n＝6
4．[2018春·永安市期末]某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种边长相同、形状不同的正多边形地砖，与正三角形地砖作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖是( )
A．正方形
B．正六边形
C．正八边形
D．正十二边形
D．正十二边形每个内角是150°，150°×2＋60°＝360°，∴能密铺．
5
5．用边长相等的正方形和正三角形镶嵌平面．
(1)一个顶点处需要几个正方形、几个正三角形？(两种图形都要用上)
(2)请画出你的镶嵌图．
6．如图，用正多边形A、 B、 C密铺地面，其中A为正六边形， C为正方形，请通过计算求出正多边形B的边数．
7．[2018春·黄岛区期末]数学问题：用边长相等的正三角形、正方形和正六边形能否进行平面图形的镶嵌？
问题探究：为了解决上述数学问题，我们采用分类讨论的思想方法进行探究．
探究一：从正三角形、正方形和正六边形中任选一种图形，能否进行平面图形的镶嵌？
第一类：选正三角形．因为正三角形的每一个内角是60°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有6个正三角形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形可以进行平面图形的镶嵌．
第二类：选正方形．因为正方形的每一个内角是90°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有4个正方形的内角可以拼成一个周角，所以用正方形也可以进行平面图形的镶嵌．
第三类：选正六边形．(仿照上述方法，写出探究过程及结论)
探究二：从正三角形、正方形和正六边形中任选两种图形，能否进行平面图形的镶嵌？
第四类：选正三角形和正方形．在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正三角形和y个正方形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程60x＋90y＝360.整理，得2x＋3y＝12.我们可以找到唯一组适合方程的正整数解为镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着3个正三角形和2个正方形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形和正方形可以进行平面镶嵌．
第五类：选正三角形和正六边形．(仿照上述方法，写出探究过程及结论)
第六类：选正方形和正六边形．(不写探究过程，只写出结论)
探究三：用正三角形、正方形和正六边形三种图形是否可以镶嵌平面？
第七类：选正三角形、正方形和正六边形三种图形．(不写探究过程，只写结论)，
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参考答案
【分层作业】
1． D
【解析】 正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°.∵3×60°＋2×90°＝360°，∴需要正方形2块，正三角形3块．
2． A
【解析】 如答图，由实线组成的两个正八边形图案显然用了8块这样的地板砖．
3． A
4． C
【解析】 A．正方形的每个内角是90°，90°×2＋60°×3＝360°，∴能密铺；
B．正六边形每个内角是120°，120°＋60°×4＝360°，∴能密铺；
C．正八边形每个内角是180°－360°÷8＝135°，135°与60°无论怎样也不能组成360°的角，∴不能密铺；
D．正十二边形每个内角是150°，150°×2＋60°＝360°，∴能密铺．
5．
5
解：(1)正三角形的每一个内角为60°，正方形的每一个内角为90°.∵3×60°＋2×90°＝360°，∴3个正三角形和2个正方形可做平面镶嵌．
(2)如答图．
6． 解：设正多边形B的一个内角为x，
则120°＋90°＋x＝360°，解得x＝150°，
∴n＝360°÷(180°－150°)＝12，
∴正多边形B的边数为12.
7． 解：第三类：因为正六边形的每一个内角是120°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有3个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以用正六边形可以进行平面图形的镶嵌．
第五类：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正三角形和y个正六边形，
则60x＋120y＝360，
即x＋2y＝6，
正整数解是或
即镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形(或4个正三角形和1个正六边形)的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形和正六边形可以进行平面镶嵌．
第六类：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正六边形，
则90x＋120y＝360，
即3x＋4y＝12，
此方程没有正整数解．
即镶嵌平面时，不能在一个顶点周围围绕着正方形和正六边形的内角拼成一个周角，所以不能用正方形和正六边形进行平面镶嵌．
第七类：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正三角形、y个正方形和z个正六边形，
则60x＋90y＋120z＝360，
2x＋3y＋4z＝12，
正整数解是
5
即镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形、1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形、正方形、正六边形可以进行平面镶嵌．
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