第9章 多边形
9.1.2 三角形的内角和与外角和
1．[2017·株洲]如图，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD的度数是( )
A．145° B．150° C．155° D．160°
2．[2017·德阳]如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E，∠BAC ＝ 60°，∠ABC＝50°，则∠DAC的大小是( )
A．15° B．20° C．25° D．30°
3．[2018·淄博改编]如图，已知△ABC是任意一个三角形，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：过点A作DE∥____，
∴∠B＝________，∠C＝________(____________________)．
∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝________(平角的定义)，
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝________(等量代换)．
于是可以得到三角形三个内角和等于________．
4．[2018·宜昌]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.
(1)求∠CBE的度数；
(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
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5．[2018·青海]小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠1＋∠2＝( )
A．150° B．180°
C．210° D．270°
6．[2018·眉山]将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是( )
A．45° B．60° C．75° D．85°
7．[2018春·郓城县期末]将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角∠α的度数是( )
A．45° B．60° C．70° D．75°
8．如图为一个零件的形状，按规定∠A＝90°，∠B、∠C分别为32°和21°.检验工人量得∠BDC＝148°，就断定这个零件不合格．请运用三角形的有关知识，说说零件不合格的理由．
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9．[2018春·邢台期末]如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．
(1)若∠B＝30°，∠C＝70°，则∠CAE＝____°，∠DAE＝____°；
(2)若∠B＝40°，∠C＝80°.则∠DAE＝____°；
(3)通过探究，小明发现将(2)中的条件“∠B＝40°，∠C＝80°”改为“∠C－∠B＝40°”，也求出了∠DAE的度数．请你写出小明的求解过程．
参考答案
【分层作业】
1． B
2． B
3． BC ∠DAB ∠EAC 两直线平行，内错角相等
180° 180° 180°
4．解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°－∠A＝50°，
∴∠CBD＝130°.
又∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝65°.
(2)∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°－65°＝25°.
又∵DF∥BE，
∴∠F＝∠CEB＝25°.
5． C
【解析】 如答图，由三角形的外角性质可知∠1＝∠A＋∠AGD，∠2＝∠B＋∠BHE.∵∠AGD＝∠FGH，∠BHE＝∠FHG，∴∠AGD＋∠BHE＝∠FGH＋∠FHG＝180°－∠F＝180°－(90°－∠D)＝120°，∴∠1＋∠2＝∠A＋∠B＋∠AGD＋∠BHE
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＝90°＋120°＝210°.
6． C
【解析】 含30°角的三角板的另一个锐角为60°.将45°角和60°角放在同一三角形中，利用三角形内角和与对顶角相等即可求出α＝75°.
7． D
【解析】 如答图，根据直角三角板，知∠1＝60°，∠3＝45°，∠BAC＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠2＝90°－45°＝45°，∴∠α＝180°－45°－60°＝75°.
8． 解：如答图，延长BD交AC于点E，
则有∠BDC＝∠C＋∠DEC，
∠DEC＝∠A＋∠B，
∴∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C.
又∵∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，
∴∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C＝143°.
而量得∠BDC＝148°≠143°，故零件不合格．
9． (1) 40 20
(2) 20
【解析】 (1)∵∠B＝30°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠C)＝80°.
∵AE是角平分线，
∴∠CAE＝∠BAC＝40°.
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°.
又∵∠C＝70°，
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∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝20°，
∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.
(2)∵∠B＝40°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠C)＝60°.
∵AE是角平分线，
∴∠CAE＝∠BAC＝30°.
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°.
又∵∠C＝80°，
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝10°，
∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝30°－10°＝20°.
解：(3)∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠C)．
∵AE是角平分线，
∴∠CAE＝∠BAC＝[180°－(∠B＋∠C)]＝90°－∠B－∠C.
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝90°－∠C，
∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD
＝90°－∠B－∠C－(90°－∠C)
＝∠C－∠B
＝(∠C－∠B)
＝×40°
＝20°.
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