第10章 轴对称、平移与旋转
10.3.2 旋转的特征
1．[2017·南市模拟]如图，已知钝角△ABC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，连结BB′.若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为( )
A．55° B．65°
C．75° D．85°
2．如图，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB＝4 cm，BB′＝1 cm，则A′B的长是____cm．
3．[2017·埇桥区模拟]如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC(顶点是网格线的交点)．
(1)将△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后得到的△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出旋转后得到的△A2B2C2.
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△AB1C1.当B1B∥AC时，求∠BAC1的度数．
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5．[2018春·鄄城县期末]如图，已知∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，如果△ABC经过旋转后与△ADE重合．
(1)旋转中心是哪个点？
(2)旋转了多少度？
(3)∠BAC的度数是多少？
6．[2018春·工业园区期末]如图，在△ABC中，∠BAC＝64°，∠C＝36°.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△ADE，AE与BD相交于点F.当DE∥AB时，求∠AFD的度数．
7．[2018春·南关区校级期末]如图，正方形ABCD，点F为正方形ABCD内一点，△BFC逆时针旋转后能与△BEA重合．
(1)旋转中心是点_______，旋转角度为_______度；
(2)判断△BEF的形状为__________________；
(3)若∠BFC＝90°，说明AE∥BF.
8．四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示．如果AF＝5，AB＝9.
(1)指出旋转中心和旋转角度；
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(2)求DE的长度；
(3)BE与DF的位置关系如何？并说明理由．
参考答案
【分层作业】
1． C
2． 3
3．
解：(1)如答图，△A1B1C1即为所求．
(2)如答图，△A2B2C2即为所求．
答图
4．
解：∵B1B∥AC，∴∠ABB1＝∠BAC＝50°.
∵由旋转的性质可知，∠B1AC1＝∠BAC＝50°，AB＝AB1，
∴∠ABB1＝∠AB1B＝50°，∴∠BAB1＝80°，
∴∠BAC1＝∠BAB1－∠C1AB1＝80°－50°＝30°.
5．
5
答图
解：(1)旋转中心是点A.
(2)旋转的角度即为∠CAE＝65°.
(3)根据旋转的性质，知∠EAC＝∠BAD＝65°，∠C＝∠E＝70°.
如答图，设AD⊥BC于点F，
则∠AFB＝90°，
∴在Rt△ABF中，∠B＝90°－∠BAD＝25°，
∴在△ABC中，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－25°－70°＝85°，
即∠BAC的度数为85°.
6．
解：在△ABC中，∵∠BAC＝64°，∠C＝36°，
∴∠ABC＝180°－64°－36°＝80°，
∴∠ADE＝∠ABC＝80°.
∵AB∥DE，
∴∠BAD＋∠ADE＝180°，
∴∠BAD＝100°.
∵AD＝AB，
∴∠ADF＝40°.
∵∠EAD＝∠CAB＝64°，
∴∠AFD＝180°－40°－64°＝76°.
7．
(1) B 90
(2)等腰直角三角形
【解析】 (1)∵四边形ABCD为正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°.
∵△BFC逆时针旋转后能与△BEA重合，
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∴旋转中心为点B，∠CBA为旋转角，即旋转角为90°.
(2)∵△BFC逆时针旋转后能与△BEA重合，
∴∠EBF＝∠ABC＝90°，BE＝BF，
∴△BEF为等腰直角三角形．
解：(3)∵△BFC逆时针旋转后能与△BEA重合，
∴∠BEA＝∠BFC＝90°.
∵△BEF为等腰直角三角形，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∴∠AEF＝45°，
∴∠AEF＝∠BFE，
∴AE∥BF.
8．
解：(1)旋转中心为点A，旋转角度为∠BAD＝90°.
(2)∵△ADF按顺时针方向旋转90°后得到△ABE，
∴AE＝AF＝5，AD＝AB＝9，
∴DE＝AD－AE＝9－5＝4.
(3)BE⊥DF.理由如下：
∵△ADF按顺时针方向旋转90°后得到△ABE，
∴∠ABE＝∠ADF.
∵∠ADF＋∠F＝180°－90°＝90°，
∴∠ABE＋∠F＝90°，
∴BE⊥DF.
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