第21讲 函数应用题
1.某生物探测器在水中逆流行进时,所消耗的能量为E=cvnT,其中v为探测器在静水中行进时的速度,T为行进的时间(单位:小时),c为常数,n为能量次级数.如果水的速度为4km/h,该生物探测器在水中逆流行进200km.
(1)求T关于v的函数关系式;
(2)(i)当能量次级数为2时,求该探测器消耗的最少能量;
(ii)当能量次级数为3时,试确定使该探测器消耗的能量最少的v的大小.
2.(2017江苏南京二十九中模拟)某商店经销一种纪念徽章,每枚徽章的成本为30元,并且每卖出一枚徽章需向相关部门上缴a元(a为常数,2≤a≤5),设每枚徽章的售价为x元(35≤x≤41).根据市场调查,日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例.已知当每枚徽章的售价为40元时,日销售量为10枚.
(1)求该商店的日利润L(x)与每枚徽章的售价x之间的函数关系式;
(2)当每枚徽章的售价为多少元时,该商店的日利润L(x)最大?并求出L(x)的最大值.
3.(2018江苏丹阳中学等三校高三下学期联考(实验班))2017年6月以来,某地区多次爆发“流感”疫情,引起某种消毒液热销.该消毒液原来每瓶的成本为8元,售价为10元,月销售量为6万瓶.
(1)据市场调查,若售价每提高0.5元,则月销售量相应减少0.4万瓶,要使提价后月利润不低于原来的月利润,则消毒液每瓶售价最高为多少元?
(2)为了提高月利润,厂家决定下月投入部分资金进行广告促销,计划每瓶的售价为x(x≥12)元,并投入345(x-12)万元作为广告费用.据市场调查,售价每瓶每提高0.5元,月销售量将相应减少1.8(x-10)2万瓶.当售价x为多少元时,下月利润最大?并求出最大利润.
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答案精解精析
1.解析 (1)由题意得,该探测器相对于河岸的速度为200Tkm/h,
又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4km/h,即v-4,
所以200T=v-4,即T=200v-4km/h(v>4).
(2)(i)当能量次级数为2时,由(1)知E=200c·v2v-4,v>4,
E=200c·[(v-4)+4]2v-4
=200c·(v-4)+16v-4+8
≥200c·2(v-4)16v-4+8
=3200c当且仅当v-4=16v-4即v=8时,取等号,
所以该探测器消耗的最少能量为3200c.
(ii)当能量次级数为3时,由(1)知E=200c·v3v-4,v>4,
由E'=200c·2v2(v-6)(v-4)2=0得v=6,
当v0,
所以当v=6时,Emin=21600c.
2.解析 (1)设日销售量为kex枚,则ke40=10,
所以k=10e40,则日销售量为10e40ex枚.
每枚徽章的售价为x元时,每枚徽章的利润为(x-30-a)元,
则L(x)=(x-30-a)10e40ex=10e40·x-30-aex(35≤x≤41).
(2)由(1)知,L'(x)=10e40·31+a-xex(35≤x≤41),
令L'(x)=0,得x=31+a.
①当2≤a≤4时,33≤31+a≤35,而35≤x≤41,
所以L'(x)≤0,此时L(x)在[35,41]上单调递减,
则当x=35时,L(x)取得最大值,最大值为10(5-a)e5.
②当4
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