高考小题专练(06)
(满分：80分 时间：45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M＝{3,2a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝( )
A．{1,2,3} B．{0,2,3}
C．{0,1,2} D．{0,1,3}
解析：选A ∵M∩N＝{2}，∴2∈M,2∈N.所以2a＝2，a＝1，于是b＝2，所以M∪N＝{1,2,3}，故选A．
2．已知a∈R，i是虚数单位，若z＝＋ai，z·＝4，则a为( )
A．1或－1 B．1
C．－1 D．不存在的实数
解析：选A 由题得＝－ai，故z·＝3＋a2＝4⇒a＝±1，故选A．
3．“＞1”是“关于x的方程sin x＝m有解”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由题得＞1得＞0⇒0＜m＜1，sin x＝m有解可得－1≤m≤1，故可得“＞1”是“关于x的方程sin x＝m有解”的充分不必要条件，故选A．
4．已知函数f(x)＝那么函数f(x)的值域为( )
A．(－∞，－1)∪[0，＋∞) B．(－∞，－1]∪(0，＋∞)
C．[－1,0) D．R
解析：选B y＝x－2(x≤1)的值域为(－∞，－1]，y＝ln x(x＞1)的值域为(0，＋∞)，故函数f(x)的值域为(－∞，－1]∪(0，＋∞)，选B．
5．在平面直角坐标系中，已知双曲线C与双曲线x2－＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，)，则双曲线C的焦距为( )
A． B．2
C．3 D．4
解析：选D 双曲线C与双曲线x2－＝1有公共的渐近线，设本题中的双曲线C的方程x2－＝λ，因为经过点P(－2，)，所以4－1＝λ，解之得λ＝3，故双曲线方程为－
5
＝1故焦距为4，选D．
6．执行如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是( )
A．k＞4? B．k＞5?
C．k＞6? D．k＞7?
解析：选B S＝0，k＝1，k＝2，S＝2，否；k＝3，S＝7，否；k＝4，S＝18，否；k＝5，S＝41，否；k＝6，S＝88，是．所以条件为k＞5，故选B．
7．已知a＝log32，b＝log23，c＝log47，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．c＜a＜b D．a＜c＜b
解析：选D a＝log32＜1，b＝log23＞1，c＝log47＞1，log2＜log23，故a＜c＜b，选D．
8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P(1,3)，Q(－1,1)，则△POQ外接圆的半径为( )
A． B．
C． D．
解析：选A ∵kOP＝3，kOQ＝－1，线段OP，OQ的中点分别为，，∴线段OP，OQ的中垂线所在直线方程分别为y＝－x＋，y＝x＋1，联立方程可得圆心坐标，所以半径为，故选A．
9．将函数f(x)＝sin的图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标保持不变，得到g(x)图象，若g(x1)＋g(x2)＝2，且x1，x2∈[－2π，2π]，则x1－x2的最大值为( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
5
解析：选C 由题得g(x)＝sin，若g(x1)＋g(x2)＝2，且x1，x2∈[－2π，2π]，则g(x)＝sin取到两次最大值，令2x＋＝2kπ＋⇒x＝kπ＋，要使x1，x2∈[－2π，2π]，x1－x2最大，故令k＝1，k＝－2即可，故x1－x2的最大值为3π，选C．
10．某几何体的三视图如图所示，其中主视图由矩形和等腰直角三角形组成，左视图由半个圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为( )
A．3π＋4 B．4(π＋＋1)
C．4(π＋) D．4(π＋1)
解析：选A 由三视图知几何体的上半部分是半圆柱，圆柱底面半径为1，高为2，其表面积为：S1＝×π×2×2＋π×12＝3π，下半部分为正四棱锥，底面棱长为2，斜高为，其表面积：S2＝4×＝4，所以该几何体的表面积为S＝S1＋S2＝3π＋4， 本题选择A选项．
11．为培养学生分组合作能力，现将某班分成A，B，C三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组，某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在B组中的那位的成绩与甲不一样，在A组中的那位的成绩比丙低，在B组中的那位成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是( )
A．甲、丙、乙 B．乙、甲、丙
C．乙、丙、甲 D．丙、乙、甲
解析：选C 因为在B组中的那位的成绩与甲不一样，在B组中的那位的成绩比乙低．所以甲、乙都不在B组，所以丙在B组. 假设甲在A组，乙在C组，由题得甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是乙、丙、甲．假设甲在C组，乙在A组，由题得矛盾，所以排序正确的是乙、丙、甲．故选C．
5
12．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心的圆与双曲线C在第一象限交于点P，直线PF1恰与圆F2相切于点P，与双曲线左支交于点Q，且|PQ|＝2|F1Q|，则双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选B 设|PQ|＝2m，|QF1|＝m，∴|PF2|＝3m－2a，|QF2|＝m＋2a，在三角形PQF2中，∠P＝90°.∴(2m)2＋(3m－2a)2＝(m＋2a)2，∴m＝a.在直角三角形PF1F2中，(3m)2＋(3m－2a)2＝(2c)2，∵m＝a，∴c2＝5a2，∴e＝.故选B．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)
13．中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．意思是“圆内接正多边形的边数无限增多的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”．如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的概率________．
解析：设圆心为O，圆的半径为1，则正六边形的面积S＝6××12×＝，则对应的概率P＝＝．
答案：
14．已知函数f(x)＝ex－x2的图象在点(1，f(1))处的切线过点(0，a)，则a＝________．
解析：函数f(x)＝ex－x2的导数为f′(x)＝ex－2x，函数f(x)＝ex－x2的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为e－2，切点为(1，e－1)，由切线过点(0，a)，可得：e－2＝得a＝1．
答案：1
15．已知向量m＝(1,2)，n＝(2,3)，则m在m－n方向上的投影为________．
解析：因为向量m＝(1,2)，n＝(2,3)，∴ m－n ＝(－1，－1), m·(m－n)＝－3，|m－
5
n|＝，m在m－n方向上的投影为＝＝－．
答案： －
16．现某小型服装厂锁边车间有锁边工10名，杂工15名，有7台电脑机，每台电脑机每天可给12件衣服锁边；有5台普通机，每台普通机每天可给10件衣服锁边．如果一天至少有100件衣服需要锁边，用电脑机每台需配锁边工1名，杂工2名，用普通机每台需要配锁边工1名，杂工1名，用电脑机给一件衣服锁边可获利8元，用普通机给一件衣服锁边可获利6元，则该服装厂锁边车间一天最多可获利________元．
解析：设每天安排电脑机和普通机各x，y台，则一天可获利z＝12×8x＋10×6y＝96x＋60y，线性约束条件为画出可行域(如图)，可知当目标函数经过A(5,5)时，zmax＝780．
答案：780
5
微信/支付宝扫码支付