高考小题专练(02)
(满分：80分 时间：45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若集合A＝{x∈R|3x＋2＞0}，B＝{x∈R|x2－2x－3＞0}，则A∩B＝( )
A．{x∈R|x＜－1} B．{x∈R|x＞3}
C． D．
解析：选B ∵A＝{x∈R|3x＋2＞0}＝，
B＝{x∈R|x＜－1或x＞3}，∴A∩B＝{x∈R|x＞3}．故选B．
2．如果复数(b∈R)的实部和虚部互为相反数，那么b等于( )
A．－2 B．－
C． D．2
解析：选A ∵复数＝＝－b－2i，由题复数(b∈R)的实部和虚部互为相反数，∴b＝－2.故选A．
3．下图是2017年1～11月汽油、柴油价格走势图(单位：元/吨)，据此下列说法错误的是( )
A．从1月到11月，三种油里面柴油的价格波动最大
B．从7月份开始，汽油、柴油的价格都在上涨，而且柴油价格涨速最快
C．92#汽油与95#汽油价格成正相关
D．2月份以后，汽油、柴油的价格同时上涨或同时下跌
解析：选D 由价格折线图，不难发现4月份到5月份汽油价格上涨，而柴油价格下跌，故选D．
4．下列四个命题中，正确的是( )
A．“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为真命题
B．“＞”是“ln a＞ln b”的充要条件
C．“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0＞1”
6
D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
解析：选C “若x＝，则tan x＝1”的逆命题为：“若tan x＝1，则x＝”显然是假命题，故A错误；当a＝1，b＝0时，＞成立，但ln a＞ln b不成立，故B错误；命题：“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0＞1”；满足命题的否定形式，C正确；若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个假命题，一假即假，故D错误；故选C．
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2＋b2－c2)·(acos B＋bcos A)＝abc，则角C＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C △ABC中，(a2＋b2－c2)·(acos B＋bcos A)＝abc，
由余弦定理可得：2abcos C(acos B＋bcos A)＝abc，
∴2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
∴2cos Csin(A＋B)＝sinC,2cos Csin C＝sin C，
∵sinC≠0，∴cos C＝，
又∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°．
6．若sin θ－cos θ＝，且θ∈，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选A 由题：sin θ－cos θ＝⇒1－2sin θcos θ＝，于是2sin θcos θ＝－＜0，由于θ∈，sin (π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝－＝－＝－．
7．执行如图所示的程序框图，为使输出s的值大于11，则输入的正整数n的最小值为( )
6
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选C 该程序框图的功能是：当输入n，输出s＝1＋1＋2＋…＋(n－1)＝，要使s＞11，n至少是6.故选C．
8．某几何体的三视图如图所示，若图中的小正方形的边长为1，则该几何体外接球的表面积为( )
A．6π B．12π
C．18π D．24π
解析：选B 根据三视图，可得该几何体的直观图如下：
利用补形法，外接球半径R＝＝，进而几何体外接球的表面积为12π．
9．将函数f(x)＝sin －cos 的图象向左平移 m(m＞0)的单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是( )
A． B．
C． D．
6
解析：选C ∵f(x)＝sin －cos ＝2sin将函数f(x)＝sin －cos 的图象向左平移m(m＞0)的单位后，得到y＝2sin＝2sin，由题所得图象对应的函数为偶函数，则－＝kπ＋，∴m＝2kπ＋，k∈Z, 又m＞0，所以m的最小值是. 故选C．
10．如图，将半径为1的圆周分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)，现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为( )
A．－1 B．
C．1－ D．
解析：选A 由题意空白部分的面积为4×＝2π－4，则阴影部分的面积为π×12－(2π－4)＝4－π，由几何概型的概率公式可得此点落在星形区域内的概率为＝－1．
11．已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线恰好是曲线C2：x2＋y2－2x－2y＝0在原点处的切线，且双曲线C1的顶点到渐近线的距离为，则曲线C1的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：选D 曲线C2：x2＋y2－2x－2y＝0化为标准形式：(x－1)2＋(y－)2＝3，圆心C2坐标为(1，)，∴kOC2＝，又双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线恰好是曲线C2：x2＋y2－2x－2y＝0在原点处的切线，∴＝，∵双曲线C1的顶点到渐近线的距离为，∴＝，即＝，又b＝a，∴a＝2，b＝2，∴曲线C1的方程为－
6
＝1，故选D．
12．定义：如果函数f(x)的导函数为f′(x)，在区间[a，b]上存在x1，x2(a＜x1＜x2＜b)，使得f′(x1)＝，f′(x2)＝，则称f(x)为区间[a，b]上的“双中值函数”．已知函数g(x)＝x3－x2是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C． D．(－∞，＋∞)
解析：选B 由题意可知，g(x)＝x3－x2，∵g′(x)＝x2－mx在区间[0,2]上存在x1，x2(0＜x1＜x2＜2)，满足g′(x1)＝g′(x2)＝＝－m，所以方程x2－mx＋m－＝0在区间(0,2)有两个不相等的解，则解得＜m＜，则实数m的取值范围是，故选B．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)
13．正方形ABCD中，＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则＝________．
解析：由＝λ＋μ得，＋＝λ(－)＋μ，根据平面向量基本定理得λ＝－1，μ＋λ＝1，于是＝－．
答案：－
14．若x，y满足约束条件则x2＋(y－3)2的最小值________．
解析：作出不等式组对应的平面区域，x2＋(y－3)2的几何意义是区域内的点到点D(0,3)的距离的平方，则由图象知D到直线AC：x－y＋2＝0的距离最小，此时最小值d＝＝，则x2＋(y＋3)2的最小值为d2＝2＝．
6
答案：
15．设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象过点A(2,1)，且在点A处的切线方程为2x－y＋a＝0，则a＋b＋c＝________．
解析：由题意得：2×2－1＋a＝0⇒a＝－3，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝3x2－6x＋b，∴f′(2)＝12－12＋b＝2⇒b＝2，而f(2)＝8－12＋4＋c＝1⇒c＝1，∴a＋b＋c＝0．
答案：0
16．已知抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，O为坐标原点，A，B为抛物线上的点，若△OAB为等边三角形，且面积为48，则p的值为________．
解析：设B(x1，y1)，A(x2，y2)，
∵|OA|＝|OB|，∴x＋y＝x＋y．
又y＝2px1，y＝2px2，
∴x－x＋2p(x2－x1)＝0，
即(x2－x1)(x1＋x2＋2p)＝0．
又x1、x2与p同号，
∴x1＋x2＝2p≠0.∴x2－x1＝0，即x1＝x2．
根据抛物线对称性可知点B，A关于x轴对称，由△OAB为等边三角形，不妨设直线OB的方程为y＝x，
由解得B(6p,2p)，
∴|OB|＝＝4p．
∵△OAB的面积为48，
∴(4p)2＝48，解得p2＝4，∴p＝2．
答案：2
6
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