高考小题专练(01)
(满分：80分 时间：45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝( )
A．(－∞，1] B．(－∞，－4]
C．(－2,1] D．[1，＋∞)
解析：选A 因为S＝{x|x＞－2}，所以∁RS＝{x|x≤－2}，
又因为T＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1}，
∴(∁RS)∪T＝{x|x≤1}＝(－∞，1]，故选A．
2．已知a∈R，i是虚数单位，复数z的共轭复数为，若z＝a＋i，z·＝4则a＝( )
A． B．－
C．或－ D．1或－1
解析：选D 由z＝a＋i⇒＝a－i⇒z·＝4，可得a2＋3＝4，
∴a＝±1，故选D．
3．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 第一次N＝24，能被3整除， N＝＝8≤3不成立，第二次N＝8,8不能被3整除，N＝8－1＝7，N＝7≤3不成立，第三次N＝7，不能被3整除，N＝7－1＝6≤3不成立，第四次N＝＝2≤3成立，输出N＝2，故选C．
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4．设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 由|a||b||cos 〈a，b〉|＝|a||b|，得cos 〈a，b〉＝±1，即〈a，b〉＝0或π，∴a∥b, 由a∥b，得向量a与b同向或反向，∴〈a，b〉＝0或π，∴|a·b|＝|a||b|，“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件，故选C．
5．函数y＝sin x(1＋cos 2x)在区间[－2,2]内的图象大致为( )
解析：选B 函数y＝sin x(1＋cos 2x)定义域为[－2,2]，其关于原点对称，且f(－x)＝sin(－x)(1＋cos 2x)＝－sin x·(1＋cos 2x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数，又图象关于原点对称，排除D；当0＜x＜1时，y＝sin x(1＋cos 2x)＝2sin xcos2x＞0，排除C；又2sin xcos2x＝0，可得x＝±或0，排除A，故选B．
6．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示. 如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体的体积是( )
A． B．
C．16 D．32
解析：选B 由三视图还原的几何体如图所示，该几何体为三棱锥，侧面PAC为等腰三角形，且平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC，底面ABC为直角三角形，AB＝AC＝4，棱锥的高为4，∴
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该四面体的体积V＝××4×4×4＝，故选B．
7．观察下图：
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
……
则第________行的各数之和等于2 0172.( )
A．2 010 B．2 018
C．1 005 D．1 009
解析：选D 由图形知，第一行各数和为1；第二行各数和为9＝32；第三行各数和为25＝52；第四行各数和为49＝72，…，∴第n行各数之和为(2n－1)2，令(2n－1)2＝2 0172⇒2n－1＝2 017，解得n＝1 009，故选D．
8．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积等于( )
A．4π B．3π
C．2π D．π
解析：选A 由题意得，因为SA⊥平面ABC，AB⊥BC，所以四面体SABC的外接球半径等于以长宽高分别为SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径，又因为SA＝AB＝1，BC＝，所以2R＝＝2⇒R＝1，所以球的表面积为S＝4πR2＝4π，故选A．
9．如图所示，点A，B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB＝2，若点A从(，0)移动到(，0)，则AB的中点D经过的路程为( )
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A． B．
C． D．
解析：选D 设AB的中点D(x，y)，∵∠AOB＝90°，∴OD＝1，∴x2＋y2＝1，当点A从(，0)移动到(，0)时，x从变到，∴圆心角变化－＝，∴D经过的路程为×1＝，故选D．
10．设集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤1}，B＝{(x，y)|(y－x)(y＋x)≤0}，M＝A∩B，若动点P(x，y)∈M，则x2＋(y－1)2的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选C 在同一直角坐标系中画出集合A，B所在区域，取交集后可得M所表示的区域如图中阴影部分所示， 而d＝表示的是M中的点到(0,1)的距离，由图可知，(0,1)到直线y＝x的距离最小，为；(0,1)到的距离最大，为＝，所以x2＋(y－1)2范围是，故选C．
11．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－ax＋a存在零点，则实数a的取值范围为( )
A． B．∪[e2，＋∞)
C． D．∪[e，＋∞)
解析：选B 函数g(x)＝f(x)－ax＋a存在零点，即方程f(x)＝ax－a存在实数根，即函数y＝f(x)与y＝a(x－1)的图象有交点，如图所示，直线y＝a(x－1)恒过定点(1,0)，过点(－2,1)与(1,0)的直线的斜率k＝＝－，设直线y＝a(x－1)与y＝ex相切于(x0，ex0)，则切点处的导数值为ex0，则过切点的直线方程为y－ex0＝ex0(x－x0
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)，又切线过(1,0)，则－ex0＝ex0(1－x0)，∴x0ex0＝2ex0，得x0＝2，此时切线的斜率为e2，由图可知，要使函数g(x)＝f(x)－ax＋a存在零点，则实数a的取值范围是a≤－或a≥e2，故选B．
12．点P在直线l：y＝x－1上，若存在过P的直线交抛物线y＝x2于A，B两点，且|PA|＝2|AB|，则称点P为“δ点”．下列结论中正确的是( )
A．直线l上的所有点都是“δ点”
B．直线l上仅有有限个点是“δ点”
C．直线l上的所有点都不是“δ点”
D．直线l上有无穷多个点(不是所有的点)是“δ点”
解析：选A 如图所示，设A(m，n)，B(xB，yB)，P(x，x－1)，因为|PA|＝2|AB|，直线l：y＝x－1与抛物线y＝x2相离， 所以＝2，(m－x，n－x＋1)＝2(xB－m，yB－n)，
可得B，A，B在y＝x2上，所以消去n，整理得，关于x的方程x2＋(2－6m)x＋3m2－2＝0，∵Δ＝24m2－24m＋12＞0恒成立，∴方程恒有实数解，点P在直线l：y＝x－1上，总存在过P的直线交抛物线y＝x2于A，B两点，且|PA|＝2|AB|，所以，直线l上的所有点都是“δ点”，故选A．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)
13．为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为＝x＋已知i＝225，i＝1 600，＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为________．
解析：由i＝225，i＝1 600，利用平均值公式求得＝22.5，＝160，因为＝4，∴＝160－4×22.5＝70，从而当x＝24时，y＝4×24＋70＝166，故答案为166．
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答案：166
14．从区间[0,2]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为________．
解析：利用几何概型，可得四分之一圆形的面积和正方形的面积比为＝＝，∴π＝，故答案为．
答案：
15．如图所示，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上任一处M建一座码头，向B，C两地转运货物．经测算，从M到B和M到C修建公路的费用均为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是________万元．
解析：以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，C(3，)，由|MA|－|MB|＝2知点M的轨迹，
即曲线PQ的方程为x2－＝1(x＞0)，
∴|MB|＋|MC|＝|MA|－2＋|MC|＝|MA|＋|MC|－2≥|AC|－2＝2－2，∴修建这两条公路的总费用最低是(2－2)a万元，故答案为(2－2)a．
答案：(2－2)a
16．已知数列{an}满足a1＝3，(3－an＋1)(6＋an)＝18(n∈N*)，则的值是________．
解析：设bn＝，n＝1,2，…，
则＝18，即3bn＋1－6bn－1＝0，
∴bn＋1＝2bn＋，bn＋1＋＝2，
故数列是公比为2的等比数列，
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则bn＋＝2n－1＝2n－1＝·2n，
∴bn＝(2n－1)，
＝i＝(2n－1)＝＝(2n＋1－n－2)，故答案为(2n＋1－n－2)．
答案：(2n＋1－n－2)
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