高考小题专练(03)
(满分：80分 时间：45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，则A∩B＝( )
A．{2} B．{0,2}
C．{－1,0,2} D．∅
解析：选B 因为集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，所以A∩B＝{0,2}，故选B．
2．复数z满足(2＋i)z＝|3－4i|，则z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵(2＋i)z＝|3－4i|＝＝5，∴(2－i)(2＋i)z＝5(2－i)，∴z＝2－i，z在复平面内对应的点(2，－1)，在第四象限，故选D．
3．已知f(x)＝x3＋3x，a＝20.3，b＝0.32，c＝log20.3，则( )
A．f(a)＜f(b)＜f(c) B．f(b)＜f(c)＜f(a)
C．f(c)＜f(b)＜f(a) D．f(b)＜f(a)＜f(c)
解析：选C 由指数函数的性质可得，1＜a＝20.3＜21＝2,0＜b＝0.32＜0.30＝1，由对数函数的性质可得，c＝log20.3＜log21＝0，∴a＞b＞c，又∵f(x)＝x3＋3x，在R上递增，所以f(c)＜f(b)＜f(a)，故选C．
4．如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成．在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选B 设小黑色三角形面积为S，则整个在图案面积为12S，黑色部分总面积为4S，由几何概型概率公式可得，此点取自黑色部分的概率是＝，故选B．
5．等差数列{an}的公差为1，a1，a2，a5成等比数列，则{an}的前10项和为( )
A．50 B．－50
6
C．45 D．－45
解析：选A ∵等差数列{an}的公差为1，a1，a2，a5成等比数列，∴a＝a1a5，即(a1＋1)2＝a1(a1＋4)，解得a1＝，∴S10＝10×＋×1＝50，故选A．
6．已知拋物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线与曲线C交于A，B两点，|AB|＝6，则AB中点到y轴的距离是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 由y2＝4x，得F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AF|等于点A到准线x＝－1的距离x1＋1，同理，|BF|等于B到准线x＝－1的距离x2＋1，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝6，x1＋x2＝4，中点横坐标为x0＝＝2，∴AB中点到y轴的距离是|x0|＝2，故选B．
7．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，B1C1的中点，则下列命题正确的是( )
A．MN∥AP B．MN∥BD1
C．MN∥平面BB1D1D D．MN∥平面BDP
解析：选C 连接MP，NP，由三角形中位线定理可得MP∥B1D1，∴MP∥面BB1D1D，由四边形BB1PN为平行四边形得NP∥BB1，∴NP∥面BB1D1D，∴平面MNP∥平面BB1D1D，MN⊂面MNP, ∴MN∥平面BB1D1D，故选C．
8．如图是为了计算S＝＋＋＋…＋的值，则在判断框中应填入( )
6
A．n＞19? B．n≥19?
C．n＜19? D．n≤19?
解析：选A 由程序框图可知，判断框中，若填n≥19？，则输出＋＋…＋，若填n＜19或n≤19，直接输出S＝，
∴应填n＞19？，故选A．
9．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为π，f(π)＝，f(x)在上单调递减，则φ的一个可能值为( )
A． B．
C． D．
解析：选D 由函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为π，得＝π，ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)，f(π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ＝，φ＝2kπ＋或x＝2kπ＋π，令k＝0，φ＝或φ＝π，当φ＝，2x＋∈，f(x)在不是单调函数，∴φ＝不合题意，故φ＝π，故选D．
10．设函数f(x)＝若f(x)≥f(1)恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．[1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
6
解析：选A ∵f(x)＝若f(x)≥f(1)恒成立，∴f(1)是f(x)的最小值，由二次函数性质可得对称轴a≥1，由分段函数性质得(1－a)2－1≤ln 1，得a≤2，综上，1≤a≤2，故选A．
11．已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为，三视图如图所示，则其侧视图的面积为( )
A． B．2
C．4 D．6
解析：选D 设正三棱锥外接球的半径为R，则πR3＝⇒R＝，由三视图可得底面边长为2，底面正三角形的高为×2＝3，底面三角形外接圆半径为×3＝2，由勾股定理得2＝22＋2，得h＝4，∴侧视图面积为S△PBE＝×3×4＝6，故选D．
12．设函数f(x)＝x－e－x，直线y＝mx＋n是曲线y＝f(x)的切线，则m＋n的最小值是( )
A．－ B．1
C．1－ D．1＋
解析：选C 设切点是P(t，f(t))，由f′(x)＝1＋e－x，切线斜率k＝f′(t)＝1＋e－t，∴切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t)，整理得y＝(1＋e－t)x－(t＋1)e－t，∴m＋n＝(1＋e－t)－(t＋1)e－t＝1－，记g(t)＝1－，∴g′(t)＝，当t＜1，g′(t)＜0，g(t)递减；当
6
t＞1，g′(t)＞0，g(t)递增；故g(t)min＝g(1)＝1－，即m＋n的最小值是1－，故选C．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)
13．已知向量a与b的夹角为90°，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝________．
解析：∵向量a与b的夹角为90°，∴a·b＝0，∵|a|＝1，|b|＝2，
∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋4＝5，∴|a－b|＝．
答案：
14．已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值为________．
解析：画出表示可行域，如图，
由z＝2x＋y，可得y＝－2x＋z，平移直线y＝－2x＋z，由图知，当直线经过(1,0)时，直线在y轴上截距最小，此时z最小为2×1－0＝2．
答案：2
15．若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1无交点，则C的离心率的取值范围为________．
解析：∵曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1无交点，∴圆心(2,0)到直线y＝x的距离大于半径1，即＞1,4b2＞a2＋b2,3b2＝3(c2－a2)＞a2,3c2＞4a2，＞，e＞，即C的离心率的取值范围为．
答案：
16．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，|an－an－1|＝n(n∈N，n≥3)，{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，则a2 018＝________．
解析：∵{a2n－1}是递增数列，∴a2n＋1－a2n－1＞0，
∴(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)＞0，
∵2n＋1＞2n，∴|a2n＋1－a2n|＞|a2n－a2n－1|，
∴a2n＋1－a2n＞0(n≥2)，
又a3－a1＝5＞0，∴a2n＋1－a2n＞0(n≥1)成立，
6
由{a2n}是递减数列，∴a2n＋2－a2n＜0，
同理可得a2n＋2－a2n＋1＜0(n≥1)，
∴∴a2n＋2－a2n＝－1，
∴{a2n}是首项为3，公差为－1的等差数列，
故a2 018＝3＋(1 009－1)×(－1)＝－1 005．
答案：－1 005
6
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