高考小题专练(05)
(满分：80分 时间：45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，则集合A的真子集个数为( )
A．31 B．32
C．3 D．4
解析：选C ∵集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，∴集合A的真子集个数为22－1＝3.故选C．
2．若复数z＝(2－ai)(1＋i)的实部为1，则其虚部为( )
A．3 B．3i
C．1 D．i
解析：选A ∵z＝(2－ai)(1＋i)＝2＋a＋(2－a)i的实部为1，∴2＋a＝1，即a＝－1.∴其虚部为3.故选A．
3．设实数a＝log23，b＝，c＝log2，则有( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．b＞c＞a
解析：选A ∵a＝log23＞log22＝1,0＜b＝＜0＝1，c＝log2＜log1＝0，∴a＞b＞c.故选A．
4．已知cos＝，则sin 2α＝( )
A．－ B．
C．± D．±
解析：选B ∵cos＝，∴sin 2α＝－cos＝
－＝－＝，故选B．
5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5,2，则输出的n等于( )
6
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C 由程序框图可得，n＝1时，a＝5＋＝＞2×2＝4＝b，继续循环；n＝2时，a＝＋＝＞2×4＝8＝b，继续循环；n＝3时，a＝＋＝＞2×8＝16＝b，继续循环；当n＝4时，a＝＋＝＜2×16＝32＝b，结束输出n＝4．
6．如图，AB为圆O的一条弦，且|AB|＝4，则·＝( )
A．4 B．－4
C．8 D．－8
解析：选D 设AB的中点为M，连接OM，则OM⊥AB，则·＝2·＝2||·||·cos(π－∠OAB)＝－2×2·||·cos ∠OAB＝－4||＝－8.故选D．
7．以下命题正确的个数是( )
①函数f(x)在x＝x0处导数存在，若p；f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则p是q的必要不充分条件
②实数G为实数a，b的等比中项，则G＝±
③两个非零向量a与b，若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角
④平面内到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹叫抛物线
A．3 B．2
C．1 D．0
6
解析：选B ①若f′(x0)＝0，则x＝x0不一定是f(x)的极值点，若x＝x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0，故p是q的必要不充分条件，故①正确；②实数G为实数a，b的等比中项，则G＝±，故②正确；③两个非零向量a与b，若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角或平角，故③错误；④平面内到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹，当点不在直线上时叫抛物线，当点在直线上时，为直线，故④错误；故选B．
8．下图为函数y＝f(x)的图象，则该函数可能为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
解析：选B 由图可知，x＝π时，y＜0，而A，C，D，y＝0, 故选B．
9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝·，则cos A＝( )
A． B．－
C． D．－
解析：选A 根据题意，△ABC中，＋＝·，则有×＋×＝·，即＝×，变形可得：cos A＝；故选A．
10．已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB＝SA＝SB＝SC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A．π B．π
C．π D．π
解析：选D 由题意，点S在底面上的射影D是AB的中点，是三角形ABC的外心，令球心为O，如图在直角三角形ODC中，由于AD＝1，SD＝＝，则(－R)2＋12＝R2，解得R＝，则S球＝4πR2＝．
6
11．圆C的圆心在抛物线y＝4x2上，且该圆过抛物线的焦点，则圆上的点到直线y＝－6距离最小值为( )
A． B．
C．5 D．
解析：选A 设圆C为(a,4a2)，半径为r，由抛物线的焦点为，准线方程为y＝－，可得r＝4a2＋，由圆上的点到直线y＝－6的距离的最小值为4a2＋6－4a2－＝，故选A．
12．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－1)为偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若函数g(x)＝f(x)－x－b恰有一个零点，则实数b的取值范围是( )
A．，k∈Z B．，k∈Z
C．，k∈Z D．，k∈Z
解析：选D ∵f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－1)为偶函数，∴f(－x－1)＝ f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x)＝－f(x＋2)，则f(x＋4)＝－f(x＋2) ＝ f(x)，即函数f(x)的周期是4，∵f(x－1)为偶函数，∴f(x－1)关于x＝0对称，则f(x)关于x＝－1对称，同时也关于x＝1对称，若x∈[－1,0]，则－x∈[0,1]，此时f(－x)＝＝－f(x)，则f(x)＝－，x∈[－1,0]，若x∈[－2，－1]，x＋2∈[0,1]，则f(x)＝－f(x－2) ＝－，x∈[－2，－1]，若x∈[1,2]，x－2∈[－1,0]，则f(x)＝－f(x－2) ＝＝，x∈[1,2]，作出函数f(x)的图象如图：
6
由数g(x)＝ f(x)－x－b＝0得f(x)＝x＋b，由图象知当x∈[－1，0]时，由－＝x＋b，平方得x2＋(2b＋1)x＋b2＝0，由判别式Δ＝(2b＋1)2－4b2＝0得4b＋1＝0，得b＝－，此时f(x)＝x＋b有两个交点，当x∈[4,5]，x－4∈[0,1]，则f(x)＝f(x－4)＝，由＝x＋b，平方得x2＋(2b－1)x＋4＋b2＝0，由判别式Δ＝(2b－1)2－16－4b2＝0得4b＝－15，得b＝－，此时f(x)＝x＋b有两个交点，则要使此时f(x)＝x＋b有一个交点，则在[0,4]内，b满足－ ＜b＜－，即实数b的取值集合是4n－ ＜b＜4n－，即4(n－1)＋ ＜b＜4(n－1)＋，令k＝n－1，则4k＋＜b＜4k＋，故选D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)
13．某校开展“爱我家乡”演讲比赛，9位评委给小明同学打分的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字在茎叶图中却无法看清，若记分员计算无误，则数字x＝________.
8
8
9
9
9
2
3
x
2
1
4
解析：由题意知去掉一个最低分88，若最高分为94时，去掉最高分94，余下的7个分数平均值是91，即×(89＋89＋92＋93＋90＋x＋92＋91)＝91，解得x＝1；若最高分为(90＋x)分，去掉最高分90＋x，则余下的7个分数平均值是：×(89＋89＋92＋93＋92＋91＋94)≠91，不满足题意．故答案为1．
答案：1
14．有一个焦点为(0,6)且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是__________．
6
解析：由－y2＝1，得双曲线的渐近线为y＝±x.设双曲线方程为：－y2＝λ(λ＜0)，∴－＝1.∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12. 故双曲线方程为－＝1．
答案：－＝1
15．已知实数x，y满足约束条件则z＝x＋y－2的最大值为________．
解析：要求目标函数的最大值，即求t＝x＋y－2的最小值．首先画出可行域，由图知在直线x－3y＋5＝0和直线y＝1的交点(－2,1)处取得最小值，即tmin＝－2＋1－2＝－3，所以z＝x＋y－2的最大值为－3＝8．
答案：8
16．已知函数f(x)＝sin2＋sin ωx－(ω＞0)，若f(x)在区间(π，2π)内没有极值点，则ω的取值范围是________．
解析：f(x)＝sin2＋sin ωx－＝(1－cos ωx)＋sin ωx－＝sin，∴f′(x)＝cos，f′(x)＝0，可得cos＝0，解得x＝∉(π，2π)，∴ω∉∪∪∪…＝∪，∵f(x)在区间(π，2π)内没有零点，∴ω∈∪．
答案：∪
6
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