高考小题专练(08)
(满分：80分 时间：45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|log3(x＋2)＜1}，则A∩B＝( )
A．{x|－2＜x＜1}__ B．{x|x≤1或x≥2}
C．{x|x＜1} D．∅
解析：选A ∵A＝{x|x2－3x＋2≥0}＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|log3(x＋2)＜1}＝{x|－2＜x＜1}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}．选A．
2．在等差数列{an}中，若a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝150，则a5的值为( )
A．75 B．50
C．40 D．30
解析：选D 由等差数列的性质可得a1＋a9＝a3＋a7＝2a5，故a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝5a5＝150，故a5＝30. 故选D．
3．对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有下列四个结论：
①αβ＝1；②＝－i；③||＝1；④α2＋β2＝0，
其中正确的结论的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，①αβ＝(1－i)·(1＋i)＝2，故①不正确；②＝＝＝＝－i，故正确；③||＝|－i|＝1，正确；④ α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i－1＋1＋2i－1＝0，正确. 故选C．
4．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递增，若f(2)＝－2，则满足f(x－1)≥－2的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
C．[－1，－3] D．(－∞，－2]∪(2，＋∞)
解析：选B 由题偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递增，若f(2)＝－2，则f(x－1)≥－2⇔f(x－1)≥f(2)⇔f(|x－1|)≥f(2)，即|x－1|≥2，解得x≤－1或x≥3. 故选B．
5. 若α∈R，则“α＝”是“sin α＜cos α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
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解析：选A 若α∈R，则由“α＝”可得到“sin α＜cos α”，但当“sin α＜cos α”时不一定有“α＝”，故“α＝”是“sin α＜cos α”的充分不必要条件. 故选A．
6．(2018·黄山一模)《九章算术》中记载了一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺，术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为V＝×(底面圆的周长的平方×高)，则由此可推得圆周率π的取值为( )
A．3 B．3.1
C．3.14 D．3.2
解析：选A ∵圆堡瑽(圆柱体)的体积为V＝×(底面圆的周长的平方×高)，∴×(2πr)2h＝πr2h，解得π＝3．
7．执行程序框图，假如输入两个数是S＝1、k＝2，那么输出的S＝( )
A．1＋ B．
C．4 D．
解析：选C 模拟执行程序框图，可得是S＝1、k＝2，S＝1＋，满足条件k＜16，k＝3，S＝1＋＋，满足条件k＜16，k＝4，S＝1＋＋ ＋，…满足条件k＜16，k＝16，S＝1＋＋＋＋…＋＝1＋－1＋－＋－＋…＋－＝1＋－1＝4，不满足条件k＜16，退出循环，输出S的值为4.故选C．
8．已知变量x，y满足则目标函数z＝x－y的最值是( )
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A．zmin＝－4，zmax＝－2 B．zmax＝－2，zmin＝－3
C．zmax＝－，z无最小值 D．z既无最大值，也无最小值
解析：选C 由约束条件作可行域如图，联立解得：A(1,4)．可知当目标函数z＝x－y经过点A时取得最大值，zmax＝×1－4＝－，没有最小值．
9．把一根长为6米的细绳任意做成两段，则稍短的一根细绳的长度大于2米的概率是( )
A． B．
C． D．
解析：选D 记“稍短的一根细绳的长度大于2米”为事件A，则只能在距离两段超过2米的绳子上剪断，即在中间的2米的绳子上剪断，才使得稍短的一根细绳的长度大于2米，所以由几何概型的公式得到事件A发生的概率P(A)＝＝.故选D．
10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0，|φ|＜，函数的最大值是2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且f(x)的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是( )
A．要得到函数f(x)的图象，只需将y＝2cos 2x的图象向左平移个单位
B．x∈时，函数f(x)的最小值是－2
C．函数f(x)的图象关于直线x＝－对称
D．函数f(x)在上单调递增
解析：选D 由题A＝2，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ
6
)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，∴函数f(x)的周期T＝π，∵ω＞0，∴ω＝2，又f(x)的图象关于直线x＝对称，可得×2＋φ＝kπ＋，k∈Z，|φ|＜解得φ＝.∴f(x)＝2sin.将y＝2cos 2x的图象向左平移个单位，得到y＝2cos＝2cos≠2sin，故A错；x∈时，－≤2x＋≤，函数f(x)的最小值不等于－2，故B错；函数f(x)的图象关于直线2x＋＝kπ＋，即x＝＋，k∈Z对称，故C错误；故选D．
11．古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯(Pappus, 约300～350)在《数学汇编》第3卷中记载着一个定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以重心旋转所得周长的积”．如图，半圆O的直径AB＝6 cm，点D是该半圆弧的中点，那么运用帕普斯的上述定理可以求得，半圆弧与直径所围成的半圆面(阴影部分含边界)的重心G位于对称轴OD上，且满足OG＝( )
A．2 cm B． cm
C． cm D． cm
解析：选B 以AB为轴，半圆旋转一周所得的球的体积为V球＝π·33＝36π.运用提供的定理求得，36π＝·(2π·OG)，解得OG＝，所以选B．
12．已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f[f(x)]－f(x)－1的零点个数是( )
A．7 B．6
C．5 D．4
解析：选A 令f(x)＝t，函数F(x)＝f[f(x)]－f(x)－1的零点个数问题⇔f(t)－t－1＝0的根的个数问题．即y＝f(t)，y＝t＋1的图象如图，结合图象可得f(t)－t－1＝0的根t1＝0，t2＝1，t3∈(1,2)．方程f(x)＝0有1解，f(x)＝1有3解，f(x)＝t3有3解．综上，函数f(t)－t－1＝0的零点个数是7.故选A．
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二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)
13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝3，|b|＝1，则|a－3b|＝________．
解析：|a－3b|2＝a2－3a·b＋9b2＝－3×3×1×＋9＝，∴|a－3b|＝．
答案：
14．过点A(2，)且与O：x2＋y2＝4相切的直线方程为________________．
解析：当直线的斜率不存在时，显然直线x＝2与圆相切，当直线的斜率存在时，设切线方程为y－＝k(x－2)，∵圆心到直线的距离等于半径，＝2，解得k＝－，切线方程为x＋4y－14＝0.即过点P(2，)且与圆C相切的直线l的方程为x＋4y－14＝0和x＝2．
答案：x＋4y－14＝0和x＝2
15．如图，在长方体ABCDA′B′C′D′中，AA′＝2，AB＝3，BC＝1，点D在平面A′BC上的射影为H，则△A′BH的面积是________．
解析：如图，连接CD′，平面A′BC即是平面A′BCD′且平面A′BCD′⊥平面DCC′D′，过D作DH⊥D′C于H，则H即是D在平面A′BC上的射影．则△A′BH的面积为S＝A′B·BC＝×1＝．
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答案：
16．数表的第1行只有两个数2、3，从第2行开始，先保序照搬上一行的数再在相邻两数之间插入这两个数的和，如下图所示，那么第20行的各个数之和等于________．
2 3
2 5 3
2 7 5 8 3
2 9 7 12 5 13 8 11 3
…
解析：记题设数表第n行的各个数之和等于bn，
则b1＝5，bn＋1＝3bn－5(n∈N*)，
则bn＋1－＝3，
则b20－＝319＝·319，
所以第20行的各个数之和等于
b20＝(319＋1)．
答案：(319＋1)
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