直线与角
小结·评价
类型之一 几何图形
1．只由一个面围成的几何体是( )
A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．四面体
2．如图4－X－1所示，陀螺是由下面哪两个几何体组合而成的？( )
A．长方体和圆锥 B．长方形和三角形
C．圆和三角形 D．圆柱和圆锥
图4－X－1
图4－X－2
3．将如图4－X－2所示的直角三角形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是( )
图4－X－3
4．如果一个多面体的一个面是多边形，其余各个面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图4－X－4是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱，下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是( )
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图4－X－4
A．五棱柱 B．六棱柱
C．七棱柱 D．八棱柱
类型之二 线段的有关计算
5．2016·庐江期末已知线段AB＝6 cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝11 cm，则线段AC的长为( )
A．17 cmB．5 cm
C．11 cm或5 cmD．5 cm或17 cm
6．往返于合肥和A市之间的某高速客车，在途中共有两个停车点，那么该客车应该准备几种车票？( )
A．4种 B．6种 C．8种 D．12种
7．已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB的长度之比为( )
A．3∶4 B．2∶3 C．3∶5 D．1∶2
8．某公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人．三个住宅区在一条直线上，位置如图4－X－5所示．公司接送管理人员打算在此间只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应在( )
图4－X－5
A．A区 B．B区
C．C区 D．不确定
9．[2015·霍山二中期中] 已知A，B，C三点在同一直线上，AB＝16 cm，BC＝10 cm，
10
M，N分别是AB，BC的中点，则线段MN的长为________．
10．如图4－X－6所示，B为线段AC上的点，AB＝4 cm，BC＝3 cm，M，N分别为AB，BC的中点，求MN的长．
图4－X－6
11．如图4－X－7所示，C，D为线段AB的三等分点，E为线段AC的中点．若ED＝9，求线段AB的长．
图4－X－7
10
类型之三 角的有关计算
12．把两块三角尺按如图4－X－8所示那样拼在一起，则∠ABC等于( )
图4－X－8
A．70° B．90° C．105° D．120°
13．[2016·濉溪期末] 有两个角，它们的比为7∶3，它们的差为72°，则这两个角的关系是( )
A．互为余角 B．互为补角
C．相等 D．以上选项都不对
14．[2016·宿州泗县中学竞赛] 将一张长方形纸片按如图4－X－9所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为( )
图4－X－9
A．60° B．75° C．90° D．95°
15．用一副三角尺画角，不能画出( )
A．15°的角 B．135°的角
C．145°的角 D．150°的角
10
16．在下列时间段内时钟的时针和分针会出现重合的是( )
A．5：20～5：26 B．5：26～5：27
C．5：27～5：28 D．5：28～5：29
17．若∠α的补角是∠α的余角的3倍，则∠α的度数是________．
18．从一只小船上看小岛，方向是北偏东38°，此时从小岛看这只船，其方向是______________．
19．[2016·和县期末] (1)如图4－X－10，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；
(2)如果(1)中的∠AOB＝α，∠BOC＝β，其他条件不变，请用含α或β的代数式来表示∠MON的度数．
图4－X－10
类型之四 规律性问题探究
20．如图4－X－11，数一数以O为顶点且小于180°的角一共有多少个，你能得到解这类问题的一般方法吗？
图4－X－11
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21．[2015·合肥期末] 在同一平面内有n条直线，任意两条不平行，任意三条不共点．当n＝1时，如图4－X－12①，一条直线将一个平面分成两个部分；当n＝2时，如图②，两条直线将一个平面分成四个部分．则当n＝3时，三条直线将一个平面分成________部分；当n＝4，四条直线将一个平面分成________部分；若n条直线将一个平面分成an个部分，(n＋1)条直线将一个平面分成an＋1个部分，试探索an，an＋1，n之间的关系．
图4－X－12
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/ 教 师 详 解 详 析 /
第4章 直线与角
小结·评价
1．A [解析] 球由一个曲的面围成，圆锥由一个平的面和一个曲的面围成，圆柱由两个平的面和一个曲的面围成，四面体由四个平的面围成．故选A.
2．D [解析] 由组成几何体的特征知，陀螺上面是圆柱，下面是圆锥．故选D.
3．B
4．B [解析] 九棱锥侧面有9条棱，底面是九边形，也有9条棱，共有棱9＋9＝18(条)．
A项，五棱柱共15条棱，故本选项不符合题意；
B项，六棱柱共18条棱，故本选项符合题意；
C项，七棱柱共21条棱，故本选项不符合题意；
D项，八棱柱共24条棱，故本选项不符合题意．
故选B.
5．D [解析] 当点C在AB的延长线上时，AC＝AB＋BC＝17 cm；当点C在BA的延长线上时，AC＝BC－AB＝5 cm.故选D.
6．D [解析] 本题实质是数线段的条数，要注意车票有往返两种，车票种数是路段数的2倍．
设合肥用D表示，途中共有两个停车点为C，B，由图可知线段共有：DC，DB，DA，CB，CA，BA，共六条，而车票往返有两种，故该客车应该准备6×2＝12(种)车票．故选D.
7．A [解析] 如图，∵CA＝3AB，∴CB＝CA＋AB＝4AB，∴CA∶CB＝3∶4.故选A.
8．A [解析]∵当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点的路程和是15×100＋10×300＝4500(米)；
当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点的路程和是30×100＋10×200＝5000(米)；
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当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点的路程和是30×300＋15×200＝12000(米)；
当停靠点在A区、B区之间时，设与A区相距x米，则所有员工步行到停靠点的路程和是30x＋15(100－x)＋10(300－x)＝(4500＋5x)米；
当停靠点在B区、C区之间时，设与B区相距y米，则所有员工步行到停靠点的路程和是30(100＋y)＋15y＋10(200－y)＝(5000＋35y)米．
∴当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点的路程和最小，那么停靠点的位置应该在A区．故选A.
9．3 cm或13 cm [解析] 本题有两种情形：(1)当点C在线段AB上时，如图①.
因为AC＝AB－BC，AB＝16 cm，BC＝10 cm，所以AC＝16－10＝6(cm)．又因为M，N分别是AB，BC的中点，所以BM＝AB＝8 cm，BN＝BC＝5 cm，所以MN＝BM－BN＝8－5＝3(cm)；
(2)当点C在线段AB的延长线上时，如图②.
因为AC＝AB＋BC，AB＝16 cm，BC＝10 cm，所以AC＝16＋10＝26(cm)．
又因为M，N分别是AB，BC的中点，
所以BM＝AB＝8 cm，BN＝BC＝5 cm，
所以MN＝BM＋BN＝8＋5＝13(cm)．
故MN的长是3 cm或13 cm.
10．解：因为AB＝4 cm，M是AB的中点，所以MB＝2 cm.又因为BC＝3 cm，N是BC的中点，所以BN＝1.5 cm，则MN＝MB＋BN＝2＋1.5＝3.5(cm)．
11．解：因为C，D为线段AB的三等分点，
所以AC＝CD＝DB.
因为E为AC的中点，
所以AE＝EC＝AC，
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所以CD＋EC＝DB＋AE.
因为ED＝EC＋CD＝9，
所以DB＋AE＝EC＋CD＝ED＝9，
则AB＝2ED＝18.
12．D
13．B [解析] 设这两个角分别为7x°，3x°.列方程得7x°－3x°＝72°，解得x＝18，7×18°＝126°，3×18°＝54°.因为126°＋54°＝180°，所以这两个角互补．故选B.
14．C [解析]∠ABC＋∠DBE＋∠CBD＝180°，且∠ABC＋∠DBE＝∠CBD，故∠CBD＝90°.
15．C
16．C [解析] 在5：20时分针指向4，时针与分针之间的夹角是30°＋20×0.5°＝40°.
设从5：20开始，经过x分钟，时针与分针会出现重合．
则6x－0.5x＝40，解得x≈7.27，即从5：20开始，经过大约7.27分钟，时针和分针会出现重合，即在5：27～5：28这一时间段内重合．故选C.
17. 45° [解析]∠α的补角＝180°－∠α，
∠α的余角＝90°－∠α，
则180°－∠α＝3(90°－∠α)，
解得∠α＝45°.
18．南偏西38°
19．解：(1)因为∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，
所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋30°＝120°.
又因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
所以∠MOC＝∠AOC＝60°，∠NOC＝∠BOC＝15°，
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所以∠MON＝∠MOC－∠NOC＝60°－15°＝45°.
(2)因为∠AOB＝α，∠BOC＝β，
所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝α＋β.
又因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
所以∠MOC＝∠AOC＝(α＋β)，∠NOC＝∠BOC＝β，
所以∠MON＝∠MOC－∠NOC＝(α＋β)－β＝α.
20．解：共有28个角．当∠MON内部有n条射线时，共有个角．
21．[解析] 一条直线可以把平面分成2部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时比一条直线时多了2部分，三条直线比两条直线时多了3部分，四条直线时比三条直线时多了4部分，…，n条直线时比(n－1)条直线时多了n部分．
解： 当n＝1时，分成2部分，当n＝2时，分成4部分，当n＝3时，分成7部分，当n＝4时，分成11部分，an，an＋1，n之间的关系是an＋1＝an＋(n＋1)．
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