4．3 线段的长短比较
知|识|目|标
1．通过观察、思考两人比较身高的方法，会用测量法和叠合法比较线段的长短．
2．通过对线段加减的作图操作，引出线段中点的概念，并能根据线段之间的数量关系求线段的长．
3．通过生活现象的讨论，了解“两点之间的所有连线中，线段最短”的基本事实，并能根据此基本事实解释生活中的现象．
目标一 会比较线段的长短
例1 教材补充例题如图4－3－1，用圆规比较两条线段A′B′和AB的长短，其中正确的是( )
图4－3－1
A．A′B′＞ABB．A′B′＝AB
C．A′B′＜ABD．不确定
【归纳总结】 线段AB，CD的长短有三种情况：
(1)线段AB＞线段CD；
(2)线段AB＝线段CD；
(3)线段AB＜线段CD.
目标二 会计算线段的中点与和、差
例2 教材补充例题如图4－3－2，P是线段AB上的点，其中不能说明P是线段AB中点的是( )
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图4－3－2
A．AB＝2APB．AP＝BP
C．AP＋BP＝ABD．BP＝AB
【归纳总结】 从“数”“形”两个角度理解线段的中点：
1．由形到数：若M是线段AB的中点，则AB＝2AM＝2BM，AM＝BM＝AB.
2．由数到形：若点M在线段AB上，且AB＝2AM＝2BM或AM＝BM＝AB，则M是线段AB的中点．
例3 教材补充例题如图4－3－3，点C在线段AB上，且AC∶CB＝2∶3，M是AC的中点，N是AB的中点，MN＝6 cm.求线段AB，CN的长．
图4－3－3
【归纳总结】 计算线段的和、差的方法：
(1)逐段计算：求线段的长度，主要围绕线段的和、差、倍、分展开．若每一条线段的长度均已确定，所求问题可迎刃而解．
(2)整体转化：巧妙转化是解题的关键，首先将线段转化为两条线段的和，然后再通过线段的中点的等量关系进行替换，将未知线段转化为已知线段．
(3)构造方程：利用各线段的长度比及中点关系建立方程，求出未知数的值．
目标三 理解线段的基本事实
例4 教材补充例题如图4－3－4所示，直线l是一条平直的公路，A，B是某公司的两
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个仓库，位于公路两旁，请在公路上找一点建一货物中转站C，使仓库A，B到中转站C的距离之和最小，请找出中转站C的位置并说明理由．
图4－3－4
【归纳总结】 理解线段的基本事实的“两点注意”：
(1)两点之间的距离是数、形结合起来给出的定义，体现了数形结合的思想，但本质上是长度概念；
(2)勿认为A，B两点之间的距离就是指线段AB，应是指线段AB的长度．因为线段AB是图形，而距离是有单位的数值．
知识点一 比较两条线段的长短
比较两条线段长短的方法有两种：
(1)________法；
(2)________法．
知识点二 线段的中点
一点在线段上并且将线段分为相等的两段，这样的点叫做这条线段的________．
[点拨] 线段的中点的意义有两个方面：
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(1)等分：分得的两条线段长度相等，且均等于原线段长度的一半；
(2)倍数：原线段长度是分得线段长度的两倍．
知识点三 线段的基本事实
1．基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短．
2．两点之间线段的________，叫做这两点之间的距离．
已知线段AB＝8 cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3 cm，求线段AC的长．
解：如图4－3－5所示，AC＝AB－BC＝8－3＝5(cm)．
图4－3－5
以上解法正确吗？若不正确，请指出错误原因，并给出正确的解答过程．
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详解详析
4.3 线段的长短比较
【目标突破】
例1 [答案]A
例2 [解析]C 因为P是线段AB上的点，所以当AB＝2AP或AP＝BP或BP＝AB时，P一定是线段AB的中点，而当AP＋BP＝AB时，P可以是线段AB上的任意一点．故选C.
例3 解：因为M是AC的中点，所以AM＝AC.
因为N是AB的中点，所以AN＝AB.
因为AC∶CB＝2∶3，所以AC＝AB，
所以AM＝AB，
所以MN＝AN－AM＝AB－AB＝AB.
又因为MN＝6 cm，
所以AB＝6 cm，解得AB＝20 cm.
所以CN＝AN－AC＝AB－AB＝×20－×20＝10－8＝2(cm)．
例4 [解析] 根据两点之间的所有连线中，线段最短，因此，只需连接AB即可．
解：如图，连接AB，与l的交点C即为所求，根据两点之间的所有连线中，线段最短，可知要使C到A，B的距离之和最小，则点C必须在线段AB上．又因为点C必在直线l上，所以点C应是线段AB与直线l的交点．
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【总结反思】
[小结]知识点一 度量 叠合
知识点二 中点
知识点三 长度
[反思] 不正确．错解只考虑了点C在线段AB上的一种情况，而忽视了点C也可能在线段AB的延长线上．正确的解答过程如下：
当点C在线段AB上时，AC＝AB－BC＝8－3＝5(cm)；
如图所示，当点C在线段AB的延长线上时，AC＝AB＋BC＝8＋3＝11(cm)．
因此线段AC的长为5 cm或11 cm.
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