第三章 概率的进一步认识
1 用树状图或表格求概率
第2课时 游戏的公平性
素材一 新课导入设计
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
情景导入
图3－1－16
如图3－1－16，小明、小亮和小凡做“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则如下：
由小明和小亮玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小亮中的获胜者．
假设小明和小亮每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个游戏对三人公平吗？
[说明与建议] 说明：通过做游戏激发了学生学习的兴趣，一方面是引导学生进一步巩固用树状图或表格求概率的知识，另一方面是为学习第二节(用频率估计概率)埋下伏笔．建议：让三位学生做游戏，尽量次数多一些，其他同学统计结果，然后小组讨论，再让学生仿照上节课所学的用树状图或表格求概率的方法尝试解决上面的问题，并让学生从概率的角度解释上面的问题．
悬念激趣 “石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏．起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展它传到了欧洲，到了近现代逐渐风靡世界．简单明了的规则，单次玩法比拼运气，多回合玩法比拼心理博弈，使得“石头、剪刀、布”这个古老的游戏同时拥有“意外”与“技术”两种特性，深受世界人民喜爱．那么同学们想一想“石头、剪刀、布”有没有规则漏洞可钻呢？
[说明与建议] 说明：从“石头、剪刀、布”这个耳熟能详的游戏作为切入点，使学生产生学习新知的兴趣，使学生进一步掌握用列表法或树状图计算某事件发生的概率．建议：以讲故事的形式引出问题，自然衔接学生也便于接受，从而充分调动学生的求知欲和好奇心，为顺利完成判断游戏规则公平与否的依据做好铺垫．
素材二 教材母体挖掘
教材母题——第62页例1
小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏．游戏规则如下：
由小明和小颖做“石头、剪刀、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者．
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图3－1－17
假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个游戏对三人公平吗？
【模型建立】
“石头、剪刀、布”这个游戏是公平的，是没有漏洞可钻的，也就是说对于参与的各方获胜的概率是相同的．实际上，在真正玩“石头、剪刀、布”时，双方做这三种手势的可能性不一定相同，每个人都有自己的习惯和偏好，本例中我们假设小明和小颖每次做这三种手势的可能性相同，如果没有这种假设后面的解法就缺乏理论依据．事实上，我们在将一个实际问题数学化时，往往不仅仅是一个抽象化的过程，而且也是一个理想化的过程．
【变式变形】
1．[常州中考] 一个不透明的箱子里共有3个球，把它们分别编号为1，2，3，这些球除编号不同外其余都相同．
(1)从箱子中随机摸出一个球，求摸出的球是编号为1的球的概率；
(2)从箱子中随机摸出一个球，记录下编号后将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球并记录下编号，求两次摸出的球都是编号为3的球的概率．
[答案：(1) (2)]
2．亲爱的同学们，下面我们来做一个猜颜色的游戏：一个不透明的小盒中，装有A，B，C三张除颜色以外完全相同的卡片，卡片A两面均为红色，卡片B两面均为绿色，卡片C一面为红色，一面为绿色．
(1)从小盒中任意抽出一张卡片放到桌面上，朝上一面恰好是绿色，请你猜猜，抽出哪张卡片的概率为0?
(2)若要你猜(1)中抽出的卡片朝下一面是什么颜色，则猜哪种颜色正确率可能高一些？请你列出表格，用概率的知识予以说明．
[答案：(1)A
(2)猜绿色正确率高一些．因为一定不会抽出卡片A，只会抽出卡片B或C，且抽出的卡片朝上的一面是绿色．可列表格：
朝上
B(绿1)
B(绿2)
C(绿)
朝下
B(绿2)
B(绿1)
C(红)
表格中1和2分别表示B卡的两面．可见朝下一面的颜色有绿、绿、红三种可能，即P(绿色)＝，P(红色)＝，所以猜绿色的正确率高一些．]
3．[遵义中考] 小明、小军两同学做游戏，游戏规则：一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔，两人先后从袋中各取出一支笔(不放回)，若两人所取笔的颜色相同，则小明胜，否则，小军胜．
(1)请用树状图或列表法列出摸笔游戏所有可能的结果；
(2)请计算小明获胜的概率，并指出本游戏规则是否公平，若不公平，你认为对谁有利？
[答案：(1)略 (2)小明获胜的槪率为，游戏不公平，对小军有利]
素材三 考情考向分析
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[命题角度1] 用列表法或树状图求概率
列表法和树状图法的优点是能把事件发生的每一种可能都具体表示出来，尤其是树状图法更能直观地表现出事物发生的每一种可能．利用表格可以有条理地排列试验结果，可以化抽象为直观，化复杂为简单，便于正确计算事件发生的概率，能提高计算的正确性，同时还可以丰富解决问题的策略．如习题3.2第4题，第6题．
例 [武汉中考] 袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球．
(1)先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球．
①求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；
②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率．
(2)先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果．
[答案：(1)① ② (2)]
[命题角度2] 概率与代数、几何问题的结合
新课标实施以来，概率问题成为新增的一道亮丽的风景，在具体情景中体会概率意义的同时，增加了同其他数学知识的联系，展示了数学的整体性．
例 [陇南中考] 在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小敏从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标(x，y)．
(1)请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；
(2)求点(x，y)在函数y＝－x＋5图象上的概率．
[答案：(1)(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3) (2)]
素材四 教材习题答案
P64随堂练习
有三张大小一样而画面不同的画片，先将每一张从中间剪开，分成上下两部分；然后把三张画片的上半部分都放在第一个盒子中，把下半部分都放在第二个盒子中．分别摇匀后，从每个盒子中各随机地摸出一张，求这两张恰好能拼成原来的一幅画的概率．
解：.
P64习题3.2
1．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是1，2，3.从每组牌中各摸出一张牌．
(1)两张牌的牌面数字和等于1的概率是多少？
(2)两张牌的牌面数字和等于2的概率是多少？
(3)两张牌的牌面数字和为几的概率最大？
(4)两张牌的牌面数字和大于3的概率是多少？
解：(1)0；(2)；(3)4；(4).
2．经过某路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，
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现有两人经过该路口，求下列事件的概率：
(1)两人都左拐；(2)恰好有一人直行，另一人左拐；(3)至少有一人直行．
解：(1)；(2)；(3).
3．掷两枚质地均匀的骰子，求下列事件的概率：
(1)至少有一枚骰子的点数为1；
(2)两枚骰子的点数和为奇数；
(3)两枚骰子的点数和大于9；
(4)第二枚骰子的点数整除第一枚骰子的点数．
解：(1)；(2)；(3)；(4).
4．小明和小军做掷骰子游戏，两人各掷一枚质地均匀的骰子．
(1)若两人掷得的点数之和为奇数，则小军获胜，否则小明获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？
(2)若两人掷得的点数之积为奇数，则小军获胜，否则小明获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？
解：(1)公平，两人获胜的可能性相同；(2)不公平，两人获胜的可能性不相同．
5．如图，小明和小红正在做一个游戏：每人先掷骰子，骰子朝上的数字是几，就将棋子前进几格，并获得格子中的相应物品．现在轮到小明掷骰子，棋子在标有数字“1”的那一格，小明能一次就获得“汽车”吗？小红下一次掷骰子可能得到“汽车”吗？她下一次得到“汽车”的概率是多少？
解：不能；可能，.
6．在本节课的“石头、剪刀、布”游戏中，小凡没有参与活动，有“任人宰割”的感觉，于是他们修改游戏规则如下：三人同时做“石头、剪刀、布”游戏，如果三人的手势都相同或三人的手势互不相同，那么三人不分胜负；如果有两个人的手势相同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头” 的规则决定胜负(有可能有两个胜者)．这个游戏对三人公平吗？先算一算，再做一做．
解：公平．
素材五 图书增值练习
素材六 数学素养提升
赌博与概率论
《重要的艺术》一书的作者、意大利医生兼数学家卡当，据说他曾进行过大量的赌博．他在赌博时研究不输的方法，实际是概率论的萌芽．
据说卡当曾参加过这样的一种赌法：把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容．已知骰子的六个面上分别为1～6点，那么，赌注下在多少点上最有利？
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两个骰子朝上的面共有36种可能，点数之和分别可为2～12共11种．从图中可知，7是最容易出现的和数，它出现的概率是=卡当曾预言说押7最好．
现在看来这个想法是很简单的，可是在卡当的时代，应该说是很杰出的思想方法．
在那个时代，虽然概率论的萌芽有些进展，但还没有出现真正的概率论．
十七世纪中叶，法国贵族德·美黑在骰子赌博中，由于有要急近处理的事情必须中途停止赌博，要靠对胜负的预测把赌资进行合理的分配，但不知用什么样的比例分配才算合理，于是就写信向当时法国的最高数学家帕斯卡请教．正是这封信使概率论向前迈出了第一步．
帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛一起，研究了德·美黑提出的关于骰子赌博的问题．于是，一个新的数学分支--概率论登上了历史舞台．概率论从赌博的游戏开始，完全是一种新的数学．现在它在许多领域发挥着越来越大,十分重要的作用．
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