第三章 概率的进一步认识
2 用频率估计概率
课题
2 用频率估计概率
授课人
教
学
目
标
知识技能
经历试验、统计等活动过程，积累活动经验，体会概率与统计的关系，进一步发展合作交流的意识和能力．
数学思考
进一步认识频率与概率的意义，加深对概率的理解.
问题解决
能用试验的方法估计一些随机事件发生的概率．
情感态度
通过有趣的生日问题的试验、统计，提高学习兴趣，形成严谨的科学态度．
教学重点
用试验的方法估计一些复杂随机事件发生的概率．
教学难点
试验方案的设计．
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
通过上节课的学习，你认为在利用树状图或表格求概率时要注意些什么？还有哪些困惑？先想一想，再分享给大家．
通过对所学概率知识进行梳理，使学生养成反思与总结的习惯，体会概率是描述随机现象的数学模型，发展应用概率的意识.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
《红楼梦》第62回中有这样的情节：
当下又值宝玉生日已到，原来宝琴也是这日，二人相同．……
袭人笑道：“这是他来给你拜寿．今儿也是他的生日，你也该给他拜寿．”宝玉听了，喜的忙作下揖去，说：“原来今儿也是姐姐的芳诞．”平儿还福不迭．……
探春忙问：“原来邢妹妹也是今儿，我怎么就忘了．”
……
探春笑道：“倒有些意思，一年十二个月，月月有几人生日．人多了，便这等巧了，也有三个一日，两个一日的．……”
问题：为什么会“便这等巧？”
以小说情节开篇，引人入胜，直接引入与生日有关的话题，激发学生的学习兴趣．
6
学生置身于情境之中，并陷入思考：为什么会“便这等巧？”
活动
二：
实践
探究
交流新知
活动内容1：
图3－2－3
问题1：1400位同学中，一定有2人的生日相同(可以不同年)吗？有什么依据呢？
问题2：300位同学中，一定有2人的生日相同(可以不同年)吗？
问题3：教师提出一个论断：“我认为咱们班50个同学中很可能就有2个同学的生日相同．”你相信吗？
处理方式：对于问题1，学生能给予肯定的回答“一定”，对于能力比较强的学生可以用“抽屉原理”加以解释．例如，有的学生会给出如下的解释：“一年最多366天，400个同学中一定会出现至少2人出生在同月同日，相当于把400个物品放到366个抽屉里，一定至少有2个物品放在同一抽屉里——抽屉原理：把m个物品任意放进n个空抽屉里(m＞n)，那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物品”．对于问题2，学生会给出“不一定”的答案．对于问题3，学生会表示怀疑，不太相信．
活动内容2：
问题1：如果50个同学中有2人生日相同，能否说明50人中有2人生日相同的概率是1?
问题2：如果50人中没有2人生日相同，能否说明50人中2人生日相同的概率为0?
处理方式：对于问题1，学生能根据以往的知识进行反思，并能举一些类似的问题作为例子．例如：随意抛掷一枚硬币，若国徽面朝上，则说它国徽面朝上的概率为1，国徽面朝下的概率为0，显然是错误的，我们知道它们的概率均为0.5.对于问题2，随意抛掷一枚骰子，“6朝上”时我们说“6朝上”的概率为1，6朝下的概率为0，显然也是错误的，我们知道它们的概率均为.
活动内容3：
每个同学课外调查10人的生日，从全班的调查结果中随机选择50人，看有没有2人生日相同，设计方案估计50人中有2人生日相同的概率．
通过具体收集数据、试验、统计结果的过程，丰富学生的数学活动经验，对本节课有更直观的感知，经历用试验估计理论概率的过程，初步感受到生日相同的概率较大.
6
活动
二：
实践
探究
交流新知
处理方式：
方案1：将每个同学调查的生日随机排列成一方阵，然后按某一规则从中选取50个数据进行试验(如25×20，从某行某列开始，自左而右，自上而下，选出50个数)．
方案2：把全班每个同学所调查的数据写在纸条上，放在箱子里随机抽取．
方案3：从50个同学手里随机抽取一个调查数据，组成50个数据．
方案4：全班分成10个小组，把每个小组调查的数据放在一起，打乱次序，随机抽取5个，然后把10个小组的结果放在一起，组成50个数据．
活动过程指导：
(1)为节约时间，生日表示方式简化成四位数，如“0217”．
(2)人人参与，大胆发言、交流、讨论从大量的重复试验活动中感受生日相同的概率较大．
(3)激励学生提出更好的活动方案，如：产生1～365之间某一自然数随机数的方法；分工制作1～365自然数卡片，放入纸箱随机抽取一张，记下号码，放回去，再随机抽取，直至抽出50张，多次重复试验，并估计出50人中有2人生日相同的概率，此为模拟试验．
活动评价指导：
(1)关注学生的参与程度，活动过程中的思维方式，与同学合作交流情况．
(2)鼓励思维多样性．
(3)关注学生能否用试验方法估计一些较复杂随机事件发生的概率．
(4)关注学生对概率的理解是否全面．
(5)关注试验次数．
实际效果：通过以上探索活动，经历了大量重复试验，能估算出50人中有2人生日相同的概率是多少，约0.9704，很大．利用此结果可解释《红楼梦》生日相同“这等巧”的问题．
这个结果出人意料之处就在于其结果违反了人们的直觉：人们往往觉得两人生日相同是一种可能性不大的事情，计算结果却是：如果人数不少于23人，这种可能性就达50%.下面是“n个人中至少有2人生日相同”的概率大小表：
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
20
0.4114
29
0.6810
38
0.8641
47
0.9548
56
0.9883
21
0.4437
30
0.7105
39
0.8781
48
0.9606
57
0.9901
22
0.4757
31
0.7305
40
0.8912
49
0.9658
58
0.9917
23
0.5073
32
0.7533
41
0.9032
50
0.9704
59
0.9930
24
0.5383
33
0.7750
42
0.9140
51
0.9744
60
0.9941
25
0.5687
34
0.7953
43
0.9239
52
0.9780
26
0.5982
35
0.8144
44
0.9329
53
0.9811
27
0.6269
36
0.8322
45
0.9410
54
0.9839
28
0.6545
37
0.8487
46
0.9483
55
0.9836
6
活动
三：
开放
训练
体现
应用
变式训练：
课外调查10个人的生肖，它们分别是什么？他们中有2人的生肖相同吗？6个人中呢？利用全班的调查数据设计一个方案，估计6个人中有2个人生肖相同的概率.
处理方式：学生借助处理“生日问题”的经验，来处理这个“生肖问题”，方案的设计最好不同于“生日问题”的方案．
1.一个口袋中有3个红球、7个白球，这些球除颜色外都相同．从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是多少？
2．将问题1口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后并放回．不断重复这一过程，共摸了100次球，大约会有多少次是红球？多少次是白球？
3．老师有一个不透明的盒子，盒中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．如果不将球倒出来数，如何估计其中红球和白球的比例呢？请你帮助老师设计一个方案．
4．你还能提出并解决一些与问题(3)类似的问题吗？与同伴交流．
处理方式：教师让学生回答前两个问题，为第三个问题的解决做铺垫，学生根据问题2容易设计出解决问题3的方案，对于问题4，学生一般能想到估计数量的问题．
学生答案预设：
1．摸到红球的概率是.
2．根据红球的概率可以计算：100×＝30，100－30＝70.
故摸到红球大约有30次，摸到白球大约有70次．
3．将盒子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后并放回．不断重复这一过程，共摸了m次球，有n次是红球，则红球有个．
4．一个袋子中有8个红球和若干个白球，如果不将球倒出来数，你能设计方案估计出其中白球的个数吗？
本问题与前面生日问题类似，借助于课外调查的数据再次进行有关问题的概率估算，丰富数学活动经验，直观感受较复杂事件的概率问题.
增强用数学的意识，进一步巩固用频率估计概率的知识．从问题1到问题4呈现不同的4个梯度，逐步推进和深入，不断地让学生体会概率与频率之间的关系，感受统计推理的合理性，培养学生对方案设计的迁移能力和应用能力.
（续表）
6
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1．[黄冈中考] 不透明的黑袋子里放有3个黑球和若干个白球(黑、白两球仅有颜色不同)，老师将全班学生分成10个小组，进行摸球试验，在经过大量重复摸球试验中，统计显示，从中摸出白球的频率稳定在0.4附近，则袋子里白球的个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
2．一口袋中放有除颜色外形状和大小都相同的黑、白两种球，其中黑球有6个，白球若干个，为了估算白球的个数，摇匀后从袋子中取出一球，然后放回，共取50次，其中取出白球45次，则可估算其中白球个数为________．
3.[营口中考] 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次网球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．
(1)请用树状图法或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率；
(2)请你设计一个以摸球为背景的试验(至少摸2次)，并根据该试验写出一个发生概率与(1)所求概率相同的事件．
4．研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的数量？
操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球试验，摸球试验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续．
活动结果：摸球试验活动一共做了50次，统计结果如下表：
球的颜色
无记号
有记号
红色
黄色
红色
黄色
摸到的次数
18
28
2
2
推测计算：
(1)盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？
(2)盒中有红球多少个？
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
学以致用，当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
6
活动
四：
课堂
总结
反思
【板书设计】
2 用频率估计概率
生日相同的概率：
设计方案：
数据统计：
投
影
区
学生活动区
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
以小说情节开篇，引人入胜，直接引入与生日有关的话题，激发学生的学习兴趣，学生置身于情境之中.
②[讲授效果反思]
以开放性的问题促使学生的进一步思考，在交流和碰撞中，水到渠成地使学生感悟到“用试验的方法估计复杂随机事件的概率”的必要性.
③[师生互动反思]
要在教学过程中加深学生对用频率估计“50人中有2人生日相同”的概率的理解.
④[习题反思]
好题题号_______________________________________
错题题号_______________________________________
反思，更进一步提升.
6
微信/支付宝扫码支付