第三章 概率的进一步认识
2 用频率估计概率
素材一 新课导入设计
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
情景导入 情境：从2014年国庆节开始，中央电视台一直播放“我的名字叫国庆”节目：(多媒体出示)
图3－2－1
(1)你身边的同学或朋友有没有名字叫国庆的人，他们为什么取名叫“国庆”？
(2)同学们，你们每年都过生日吗？你父母和其他长辈的生日你了解吗？请你课下调查自己的父母及周围关心你的人的生日，每名同学调查的人数不少于10人．
[说明与建议] 说明：利用“我的名字叫国庆”这一问题引发学生学习的兴趣，增加本课的趣味性，必能极大地调动学生的参与性；课下调查自己父母的生日，为本节课的学习提供素材，同时融入对学生的爱国教育和感恩教育．建议：通过图片的展示引发学生学习的兴趣，然后布置作业：让学生调查自己周围的人的生日，并记录下来．
悬念激趣 看视频回答问题：
问题1：同学们知道中国的古典四大名著是什么吗？
下面请同学们欣赏一下四大名著之一《红楼梦》中的一段视频．(播放视频)
问题2：从这段视频里，你发现了一个什么有意思的事情？
问题3：探春笑道：“倒有些意思，一年十二个月，月月有几人生日．人多了，便这等巧了，也有三个一日，两个一日的．”从探春的话里，你能发现在什么条件下，才能有“这等巧”？
[说明与建议] 说明：利用学生感兴趣的视频，直接引入与生日有关的话题，激发学生的学习兴趣．既能引入课题，也为下面解决“生日问题”做好铺垫．建议：问题1由学生直接口答；问题2可以让学生畅所欲言，肯定有学生发现有4个人是同一天的生日，老师紧接着边说“聪明的贾探春也看出了这一点”，同时把探春说的话用多媒体给出，让学生回答问题3.学生的回答可能有：这种情况真的是凑巧而已，一般情况下不太可能发生；当人数足够多的时候，这种情况才有可能发生；我认为人数也不一定太多，这一定有一定的概率，但我不知道这个概率是多少．教师可以接着这种回答，引入今天的课题：2 用频率估计概率．
素材二 考情考向分析
[命题角度1] 利用频率估计概率
当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们可以通过统计频率来估计概率．有些实际问题，往往需要用频率估计概率的思想来解决．
例 [青岛中考] 一个不透明的口袋装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的情况下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋
5
中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中．不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估计口袋中的红球大约有(A)
A．45个 B．48个 C．50个 D．55个
[命题角度2] 利用概率设计公平性方案
现实生活中存在着大量的随机现象，比如商场促销问题、彩票发行问题，还有发生在大家身边的小游戏．在这些随机现象中，很多时候都涉及一个合理性、公平性的问题．可以结合概率知识设计方案．
例 [赤峰中考] 甲、乙两位同学玩摸球游戏，准备了甲、乙两个口袋，其中甲口袋中放有标号为1，2，3，4，5的5个球，乙口袋中放有标号为1，2，3，4的4个球．游戏规则：甲从甲口袋摸一球，乙从乙口袋摸一球，摸出的两球所标数字之差(甲数字－乙数字)大于0时甲胜，小于0时乙胜，等于0时平局．你认为这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．若不公平，请你对本游戏设计一个对双方都公平的游戏规则．
[答案：不公平，理由及设计略]
[命题角度3] 统计与概率在社会生活中的应用
加强数学的应用性，让学生用数学知识和数学的思维方法去看待、分析、解决实际生活问题，在数学活动中获得生活经验，加强应用统计与概率的意识，不仅仅是学习的需要，更是工作生活必不可少的．
例 [西宁中考] 今年西宁市高中招生体育考试测试管理系统的运行，将测试完进行换算统分改为计算机自动生成，现场公布成绩，降低了误差，提高了透明度，保证了公平．考前张老师为了解全市初三男生考试项目的选择情况(每人限选一项)，对全市部分初三男生进行了调查，将调查结果分成五类：A.实心球(2 kg)；B.立定跳远；C.50米跑；D.半场运球；E.其他．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
图3－2－2
(1)将上面的条形统计图补充完整；
(2)假定全市初三毕业学生中有5500名男生，试估计全市初三男生中选50米跑的人数有多少人；
(3)甲、乙两名初三男生在上述选择率较高的三个项目：B.立定跳远；C.50米跑；D.半场运球中各选一项，同时选择半场运球、立定跳远的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明并列出所有等可能的结果．
[答案：(1)图略 (2)2200人 (3)，说明及结果略]
素材三 教材习题答案
P70随堂练习
1．课外调查的10个人的生肖分别是什么？他们中有2个人的生肖相同吗？6个人中呢？利用全班的调查数据设计一个方案，估计6个人中有2个人生肖相同的概率．
解：略．
2．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，
5
从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球．请你估计这个口袋中红球和白球的数量．
解：7个红球，3个白球．
P71习题3.4
1．小明和几个同学在课堂上进行摸球试验，大家认为，摸球的人每次摸球前应当将盒中的球摇一摇，使得每个球被摸到的可能性相同．但小明有不同想法，他认为，如果连续两次都是自己摸球，那么他只要在第二次摸球时有意识地避开第一次放进去的那个球，而随意地摸取其他球，就可以保证每个球被摸到的可能性相同．你觉得他的想法对吗？为什么？
解：不对，理由略．
2．你几月过生日？和同学交流，看看6个同学中是否有2个人同月过生日．展开调查，看看6个人中有2个人同月过生日的概率大约是多少．
解：略．
素材四 图书增值练习
专题 事件发生的频率与概率之间的关系
1. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小
红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能
有（ ）
A、15个 B、20个 C、30个 D、35个
2. 一个不透明的盒子中放有4张扑克牌，牌面上的数字分别3，4，5，x，这些扑克牌除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从盒子中各随机摸出1张牌，并计算摸出的这2张牌面上的数字之和．记录后都将牌放回盒子中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：
摸牌总次数
10
20
30
60
90
120
180
240
330
450
“和为9”出现的频数
1
9
14
24
26
37
58
82
109
150
“和为9”出现的频率
0.10
0.45
0.47
0.40
0.29
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33
解答下列问题：
（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为9”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为9”的概率；
（2）根据（1），若x是不等于3，4，5的自然数，试求x的值．
3. 小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的
面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向圈内掷石子，
且记录如下：
5
依此估计此封闭图形ABC的面积是 米2．
【知识要点】
通过实验.理解当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率附近．并据此估计某一事件发生的概率．
答案
1. D 【解析】设袋中有黄球x个，由题意得=0.3，解得x=15，则白球可能有50﹣15=35（个）．
2. 解：（1）出现和为9的概率是0.33；
（2）一共有4×3=12种可能的结果，
由（1）知，出现和为9的概率约为0.33，
∴和为9出现的次数为0.33×12=3.96≈4（用另外三个概率估计值说明亦可）.
若3+x=9，则x=6，此时P（和为9）=≈0.33，符合题意，
若4+x=9，则x=5，不符合题意．
若5+x=9，则x=4，不符合题意．
所以x=6．
3. 解：∵落在圆内的频率为（14+43+93）÷500=0.3；
落在阴影内的频率为（19+85+186）÷500≈0.6；
∴石头落在圆内（下称为“圆”）的频率与落在阴影部分（下称为“阴”）的频率之比约为
1﹕2，
∵S圆=π 米2，∴S阴=2π 米2，∴S总=π+2π=3π 米2．
素材五 数学素养提升
巧用概率一例
老师：今天给大家讲一件由真实的事引出的真实问题，然后请大家想想办法如何解决？
小明：什么事？您说吧．
老师：说的是某村子里有一座关帝庙，庙里供奉着一尊关二爷雕像，据老人们说关二爷非常灵验，有求必应．因此，慕名而来抽签卜挂的善男信女络绎不绝．村子里凡难于决断的大事小事，人们也总是喜欢到庙里烧上三拄香，请关二爷定夺．
再说这一日，为了人们赶庙会时出入的方便，有人建议在庙宇的围墙北面再放一个偏门，但同时也有人担心这样会破坏庙宇的风水，一时间公说公有理，婆说婆有理，双方争执不下，大家自然一致想到请关二爷定夺．
按照习惯，争议双方到关二爷面前，请村里的长辈点上三根香，拿出两块一模一样、十分精致的竹板，竹板只有正面和反面之分，然后口中念道：关二爷在上，弟子今有一事不明，恭请关二爷定夺．如果可以放个北门请关二爷连允三次．
小明：老师，怎么样叫做“允”？
老师：将两块竹板抛向空中，竹板落地后，如果其中一块的正面朝上，另一块反面朝上，那么称为“允”；反之，如果朝上的两面都是正面或都是反面，则称为“不允”．
小明：那连允三次就是说抛掷三次，每一次都要出现一正一反了？
老师：
5
是的．现在的问题是：村里大多数人都认为放这个北门十分必要，请你们先想一想，关二爷会允许吗？
王刚：关二爷是很难允许的．
老师：你怎么知道的？
小明：是呀，你又不是关二爷，怎么知道他老人家很难允许？
王刚：从概率的角度来考虑，因为抛掷一正一反两块竹板，面朝上的可能性有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）四种情况，每次“允”的概率为，连允三次的概率为××＝，不连允的概率为，而不连允就算不允，因此，我说关二爷很难允许．
老师：有理．该怎么样做才能让人们实现这个愿望？
小明：天意如此，哪能还有什么办法？
思思：有．可以动员长辈向关二爷这样说：如果不可以放个北门，请关二爷连允三次．
小明：那些反对者允许这样说吗？
王刚：我认为他们会允许的．因为他们都坚信关二爷会显灵的，如果真的不能放的话，连允三十次都有可能，何况三次．
小明：可这样做就不可能连允三次吗？
王刚：可能性是存在的，但可能的概率只有，而不可能的概率有．
老师：思思的建议非常巧妙，小明的疑虑不无道理，王刚的分析十分精辟，我代表村民们向你们科学的建议表示感谢，谢谢大家！
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