第五章 投影与视图
1 投影
第2课时 平行投影
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素材一 新课导入设计
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
情景导入 请欣赏下列图片：(多媒体出示)
图5－1－21
我们欣赏的一幅幅美丽图片中的投影现象可以分为两类：一类是在灯光下形成的投影现象，一类是在太阳光线下形成的投影现象．你知道物体在太阳光线下形成的影子与在灯光下形成的影子有什么不同吗？
[说明与建议] 说明：学生在欣赏精美图片的同时，能够初步感受到生活中的影子可以分为灯光下的影子和太阳光下的影子两类，然后通过问题“你知道物体在太阳光线下形成的影子与在灯光下形成的影子有什么不同吗？”引发学生的思考及参与的热情，从而引出本节课的内容．建议：利用多媒体展示精美图片，然后通过问题“你知道物体在太阳光线下形成的影子与在灯光下形成的影子有什么不同吗？”引入新课．
归纳导入 教师课前整理、选择学生资源，多媒体展示，选3～4个小组代表简单介绍，分析成影的光线特点(讲解太阳光线可以看成是平行光线)．对展示图片编号，要求学生根据一定的标准进行分类(学优生可以先设定标准，再分类；学困生可以先分类，再根据自己的分类尝试写出分类的标准)，通过对分类及标准的过程性加工，使学生明晰成影光线可以看成是从同一个点发出的投影叫中心投影，成影光线可以看成是平行光线的投影叫平行投影．
图5－1－22
太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影．平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影．
[说明与建议] 说明：通过分类，使学生明晰平行投影和中心投影的本质区别，培养学生从大量信息中辨析本质的能力，由此引出本节课研究的问题：平行投影．建议：在上课前一天让学生感受生活中太阳光下的影子，并做好预习，了解投影分类，以便学习．
悬念激趣 你知道古埃及的金字塔吗？两千六百多年前，埃及有个国王，想要知道已经盖好了的大金字塔的准确高度，可是谁也不知道该怎样测量．人爬到顶上去吧，不可能，因为塔身是斜的，就是爬上去了，又用什么方法来测量呢？
后来，国王请到了一个名叫泰勒斯的学者来解决这个问题．泰勒斯答应了，他选择了一个风和日暖的日子，在国王、祭祀们的亲自驾临下，举行了测塔仪式．
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看时间已经不早，太阳光给每个在场的人和巨大的金字塔都投下了长长的影子．当泰勒斯确知他自己的影子等于他的身高时，他发出了测塔命令：这时，助手们立即测出了金字塔的影子长度．接着泰勒斯十分准确地算出了金字塔的高度．
图5－1－23
[说明与建议] 说明：从历史上有趣的事件入手，让学生体会数学来源于生活．引发学生初步感知阳光下的影子的作用，激发学生的求知欲及学习兴趣．建议：学生在老师的引导下观看两幅图片，积极思考，提前感知阳光下的物体影子的实例，为后面的学习作铺垫．
素材二 教材母题挖掘
教材母题——第130页例2
某校墙边有甲、乙两根木杆，已知乙木杆的高度为1.5 m.
图5－1－24
(1)某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图5－1－24所示．你能画出此时乙木杆的影子吗？
(2)在图5－1－24中，当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？
(3)在(2)的情形下，如果测得甲、乙木杆的影子长分别为1.24 m和1 m，那么你能求出甲木杆的高度吗？
【模型建立】
物体在太阳光下所形成的影子大小和形状随着物体与投影面的位置关系的改变而改变．特别地，当物体与投影面平行时，所形成的影子大小与物体相等．同一时刻物高与影长成比例，同一物体在不同时刻的影长和方向不同．
【变式变形】
1．为了测量学校操场上旗杆的高度，小明请同学帮忙，测量了同一时刻自己的影长与旗杆的影长分别为0.5 m和3 m(如图5－1－25)．如果小明的身高为1.5 m，那么旗杆的高度为__9__m.
图5－1－25
图5－1－26
2.如图5－1－26所示，有甲、乙两根木杆，甲木杆的影子刚好落在乙木杆与地面接触点处．
(1)你能画出此时太阳光线及乙木杆的影子吗？(若不能画，说明理由；若能画，用线段表示影子)
(2)在所画的图形中有相似三角形吗？为什么？
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(3)从图中分析高杆与低杆的影子与它们的高度之间有什么关系，与同学进行交流．
[答案：(1)能画，图略 (2)有，理由略 (3)成正比例]
3．如图5－1－27，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房．在该楼的前面16米处要盖一栋高20米的新楼，当冬季正午的阳光照射时，1米高的小树的影子长为1.6米．
(1)超市以上的居民住房采光是否有影响？为什么？
(2)若要使超市采光不受影响，则两楼至少应相距多少米？
图5－1－27
[答案：(1)有影响，理由略 (2)22.4米]
素材三 考情考向分析
[命题角度1] 太阳光下影子的变化
阳光下的影子是太阳光线形成的，由于太阳离我们非常遥远，所以我们可以把太阳光线看成平行光线．在一天中，影子的指向是“西——西北——北——东北——东”，影子长短的变化规律是“长——短——长”．如课本第129页议一议，习题5.2第1题．
例 [达州中考] 下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序排列正确的是 ( C )
图5－1－28
A．(3)(1)(4)(2) B．(3)(2)(1)(4)
C．(3)(4)(1)(2) D．(2)(4)(1)(3)
[命题角度2] 利用太阳光下的影子求物体的高度
太阳光是平行光，在同一时刻，相距不远的两个物体的高度和影长成正比，利用此方法可以测量物高．例如本课素材二[教材母题挖掘]变式变形1.
素材四 教材习题答案
P132随堂练习
甲、乙两根木杆竖直地立在平地上，其中甲木杆的高度为3 m，乙木杆的高度为2 m，在某一时刻，甲木杆在阳光下的影子如图所示，请你在图中画出此时乙木杆在阳光下的影子．
解：略．
P132习题5.2
1．一天下午，秦老师先参加了校运动会女子200 m比赛，然后又参加了女子400 m比赛，摄影师在同一位置拍摄了她参加这两场比赛的照片(如图)．你认为秦老师参加400 m比赛的照片是哪一张？为什么？
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解：图(1)．因为图(1)的影长比图(2)长．
2．如图(1)，中间是一盏路灯，周围有一圈栏杆，图(2)(3)表示的是这些栏杆的影子，但没有画完．请你把图(2)(3)补充完整．
解：略．
3．分组活动：选一个阳光明媚的日子，4人一组在校园内平坦的空地上立两根高度不同的木杆，分别在上午、中午、下午观察这两根木杆影子的方向，同时测量木杆的影长，并将有关结果填入下表：
时间
杆影方向
杆影长度
杆影长度/木杆长度
通过观察和测量，你发现了什么？把你发现的结论及有关思考整理成一篇数学小论文．
解：学生自行解决，自己动手操作将实践结果填入表格．
我们可以发现，相同时刻物高与影长成比例．
4．在太阳光下摆弄立方块，观察立方块在地面上的影子．你得到的影子分别是几边形？与同伴交流．
[解析] 根据平行投影的特点，不同位置、不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形及光线情况而定．
在太阳光下，转动一个立方体，把正方形的一个角正对着太阳光，影子是六边形．
在太阳光下，能得到长方形、正方形、正六边形，但在太阳光下，得不到梯形，理由：太阳光是平行光线．
解：通过动手操作，说出立方块的影子，可能是四边形(正方形或矩形)和六边形．
(3)当△DEF是直角三角形时，求x的值．
[答案：(1)y＝x (2)40 (3)30]
素材五 图书增值练习
专题一平行投影、中心投影的性质及应用
1. 一位小朋友拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上的影子不可能是（ ）
D
C
B
A
8
2. 如图，夜晚，小亮沿直线从点A经过路灯C的正下方走到点B，他的影长y随他
与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间的函数关系的图象大致
为（ ）
3. 如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的硬长为AC（假定AC＞AB），影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m＞AC;②m=AC;③n=AB;④影子的长度先增大后减小．其中，正确的结论的序号是 ．
4. 学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为的小明的影子 长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得．
（1）请在图中画出形成影子的光线，交确定路灯灯泡所在的位置；
（2）求路灯灯泡的垂直高度；
（3）如果小明沿线段向小颖（点）走去，当小明走到中点处时，求
其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；当
小明继续走剩下路程的到处，…按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的
到处时，其影子的长为 m（直接用的代数式表示）．
8
5. 已知如图18，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC＝3m.
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影.
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，计算DE的长.
图18
【知识要点】
1.了解中心投影的含义，体会灯光投影在生活中的实际价值；2．了解平行投影的含义，知道在太阳光线下，同一时刻物高与影长成比例。
【温馨提示】
平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，若两直线平行，则为平行投影；若两直线相交，则为中心投影，其交点就是光源的位置．
【方法技巧】
区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观察影子.对本节内容进行考查时，一般以实际生活为背景，因为光是直线传播的，所以实物和它的影子相似，然后利用相似三角形周长的比等于相似比等性质解决问题．
答案
1. B 【解析】 根据小朋友改变等边三角形形木框摆放位置和方向，在阳光照射下的投影的大小和形状都发生改变，可能会出现选项A、C、D情况，但等边三角形的投影不可能出现B选项情况.
2． A 【解析】 由生活经验知：当小亮走到路灯的正下方时，此时影长为0，因此可排
除选项C、D；在确定答案是选项A或B上感觉不好下手．设小亮身高为a，路灯C到路面的距离为h，点A到路灯正下方的距离为b，如图，由中心投影得，整理得．
8
3．①③④
4. 解：（1）
（2）由题意得：，
，， m．
（3），，
设长为，则，解得： m，即 m．
同理，解得 m，
．
5. （1）如图所示，此时DE在阳光下的投影是EF.
（2）解：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE.又∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∴△ABC∽△DEF，∴．∴DE＝10，∴DE的长10m.
素材六 数学素养提升
《甲乙太阳光下说影子》
甲：你知道古时候是如何区别人和鬼的吗？
乙：听老人们说，“人有形，鬼无影”．说的是要区别是人还是鬼，只要让他（她）在太阳光下或灯光里一站，看他（她）有没有影子？
甲：如果没有影子怎么样？
乙：如果没有影子，说明他（她）是鬼不是人．
甲：如果有影子又怎么说？
8
乙：如果有影子说明他（她）是人不是鬼．
甲：为什么人有影子而鬼没有呢？
乙：因为人是实实在在的，而鬼却是虚无缥缈的东西．
甲：如此说来，凡是实实在在的东西都有影子了？
乙：对，任何物体都有它的影子．
甲：怎么样才能看到物体的影子呢？
乙：要见到一个物体的影子，必须要有充足的光线．
甲：现在太阳光这么充足，我手拿着的这个东西怎么见不到它的影子？
乙：你拿的是什么东西？啊，原来是个透明的东西，当然见不到它的影子了．
甲：同一物体的影子是否相同呢？
乙：不一定．这要看光线的方向与物体以及影子所在的平面的位置关系．
甲：这就怪了，同一物体的影子竟然会不相同？
乙：是的．比如早上太阳刚露面时，你如果站在操场上，会发现你的影子怎么样？
甲：很长很长，长得看不见头．
乙：当太阳继续升高时，你的影子是不是变得越来越短？
甲：没错．记得有一次第四节上体育课时，我被老师罚站，我站着无事就双眼盯住自个儿的影子，一开始时，影子的长差不多和我一样高，后来慢慢地缩成一团．
乙：这就是太阳光线的方向与你的位置关系在不断地发生变化所造成的．
甲：你刚才说的影子的变化是在不同的时刻，那在同一时刻，同一物体的影子是不是就不变了？
乙：不！当影子所在的平面发生改变时，影子也会发生变化．比如：日落时分，你如果站在操场上，会发现影子很长，当你走向垂直的墙边时，就会发现影子变成和你的实际身高一样长，是这样吗？
甲：的确如此．你刚才说的都是影子大小的变化，那物体的影子的形状会不会随光线和影子所在的平面的位置的变化而变化呢？
乙：当然会了．比如当你面朝阳光两脚叉开，双手平举时，所见到的影子是不是一个“大”字形？
甲：没错．
乙：当你转身，侧对阳光时，所见到的影子是不是变成了“１”字形？
甲：确实如此．那学习这些影子有什么用呢？
乙：当然有用了．首先，影子和我们形影相随，难道不应该好好地了解它、善待它？
甲：应该的，应该的．可难道仅仅是为了这一点吗？
乙：当然不是了．了解影子的真正目的是为了学好“视图”，现在我问你，你对影子了解了多少？
甲：任何物体都有影子，影子的形状和大小除了与物体的形状和大小有关外，还与光线的方向、影子所在的平面以及物体的摆放位置有关．影子仅是物体的一面．
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