第六章 反比例函数
1 反比例函数
素材一 新课导入设计
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
置疑导入 同学们，我们在八年级学过一次函数和正比例函数，但是在现实生活中，是不是只有这两种类型的函数表达式？如从A地到B地的路程为1200 km，某人开车要从A地到B地，汽车的速度v(km/h)和时间t(h)之间的关系式为vt＝1200，则t＝中，t和v之间是什么关系呢？会是一次函数或正比例函数关系吗？
这堂课我们就来研究这种函数——反比例函数(写出课题)．
[说明与建议] 说明：设计生活常见问题主要是让学生认识到反比例函数在生活中的普遍存在，激发学生了解反比例函数、进一步学习反比例函数的学习愿望，让学生尽快地进入学习状态．建议：通过具体问题中的数量关系让两个变量在形式上得以体现，并在此基础上抽象出数学概念，同时借助具体情境让学生领会到反比例函数作为一种数学模型在实际问题中的应用．
类比导入 复习函数及相关内容(多媒体展示)．
(1)函数的定义是什么？
(2)我们已经学过了哪些函数？
(3)还记得一次函数和正比例函数的特征吗？
(4)今天来学习一个新的函数类型——反比例函数．
[说明与建议] 说明：利用学生易对事物感兴趣的特点，通过知识回顾，既能唤醒遗忘的相关知识，又为本节课的学习做好铺垫，培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲．建议：教师上课前需要布置复习，课上结合多媒体展示的内容，师生之间边回顾，边板书．
素材二 考情考向分析
[命题角度1] 反比例函数表达式的确定
确定反比例函数表达式的方法是待定系数法．由于反比例函数y＝(k≠0)中，只有一个待定系数k，所以只需一对满足关系式的x，y的对应值，即可求得k值，进而确定其函数表达式．
例 已知反比例函数y＝的图象经过点(－2，1)，则k的值等于__－1__.
[命题角度2] 判别一个点是否在反比例函数图象上
判别一个点是否在反比例函数图象上，只要将这个点的坐标代入反比例函数表达式y＝(k≠0)中看是否成立即可．如果成立，则在这个函数图象上；如果不成立，则不在这个函数图象上．
6
例 [株洲中考] 已知反比例函数y＝的图象经过点(2，3)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是(B)
A．(－6，1) B．(1，6) C．(2，－3) D．(3，－2)
素材三 教材习题答案
P150随堂练习
1．在下列函数表达式中，x均表示自变量，那么哪些是反比例函数？每一个反比例函数相应的k值是多少？
(1)y＝；(2)y＝；
(3)y＝；(4)xy＝2.
解：根据反比例函数的定义，判断所给定的函数是不是反比例函数，进一步判断反比例函数相应的k值．
(1)(2)(4)是．
(1)k＝5，(2)k＝0.4，(4)k＝2.
2．你能举出两个反比例函数的实例吗？写出函数表达式，并与同伴交流．
解：实例： (1)有一个矩形的面积等于32 cm2，则它的长y cm与宽x cm的表达式是y＝(x>0)；
(2)当距离为540 km时，速度v(km/h)与时间t(h)之间的关系为v＝(t>0)．
P150习题6.1
1．计划修建铁路1200 km，那么铺轨天数y(d)是每日铺轨量x(km/d)的反比例函数吗？
[解析] 根据铁路工程量＝铺轨天数×每日铺轨量，得到函数表达式．
解：y＝(x>0)，y是x的反比例函数．
2．三角形的面积S是常数，它的一条边长为y，这条边上的高为x，那么y是x的函数吗？是反比例函数吗？
解：因为S＝xy，所以y＝.因为S是常数，故y是x的函数，并且y是x的反比例函数．
3．下列哪些式子表示y是x的反比例函数？为什么？
(1)xy＝－；(2)y＝5－x；
(3)y＝；(4)y＝(a为常数，a≠0)．
解：(1)(3)(4)是，(2)不是．
理由：根据反比例函数的表达式与所给的式子进行比较，除了(2)是一次函数，其他都符合反比例函数表达式的形式．
4．用电器的电流I、电阻R、电功率P之间满足关系式P＝I2R.已知P＝5 W，填写下表并回答问题．
I/A
1
2
3
4
5
6
7
8
6
R/Ω
(1)变量R是变量I的函数吗？
(2)变量R是变量I的反比例函数吗？
解：填表情况如下：
I/A
1
2
3
4
5
6
7
8
R/Ω
5
(1)因为P＝I2R，P＝5，R＝，所以R是I的函数．
(2) R＝不满足y＝(k为常数，且k≠0)的形式，所以R不是I的反比例函数．
素材四 图书增值练习
1．如图，正方形的边长为2，反比例函数过点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
x
y
C
O
A
B
2．当为何值时,函数是反比例函数? 当为何值时,此函数是正比
例函数?
3．已知y+1与x成反比例，当y=1时，.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x=3时，求y的值.
6
4．1 L的水装入底面积是（cm2）的圆柱形玻璃杯中,水面的高度是(㎝).
(1) 用含有的代数式表示;
(2) 利用写出的关系式完成下表
(3) 观察上表,当越来越大时,变化情况如何?
(4) 变量是的反比例函数吗?为什么?
S（cm2）
50
100
150
300
(㎝)
5. 用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关
系．寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红
每次用水（约10升），，小敏每次用半盆水（约5升）．如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1．5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克．
（1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式；
（2）当洗衣粉的残留量降至0．5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？
【知识要点】
1．能够从生活实际问题中,找出自变量与因变量，建立反比例函数的模型，领会反比例函数的意义.
2．理解反比例函数的概念，能够应用待定系数法求反比例函数的解析式.
【温馨提示】
反比例函数的等价形式：y是x的反比例函数 ←→ ←→ ←→ ←→ 变量y与x成反比例，比例系数为k.
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【方法技巧】
判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；
②看两个变量的乘积是否为定值（即）.（通常第二种方法应用更加广泛）
答案
1. D 【解析】由题意可得点A的坐标为（-2，2），所以k=xy=-4.
2．解：由题意得，，解得，
所以当；函数是反比例函数；
当，即时，函数是正比例函数．
3．解：（1）设y+1=,将y=1，x=代入上式得，1+1=2k,
则k=1,所以y=；（2）.
4. 解：（1）h=；
（2）
S（cm2）
50
100
150
300
(㎝)
20
10
（3）当越来越大时,越来越小；
（4）变量是的反比例函数，h=.
5. 解：（1）设小红的函数关系式为，小敏的函数关系式为
把和分别代入以上两个关系式得，.
解得．
所以小红的函数关系式为，小敏的函数关系式为（x为正整数）.
（2）把分别代入两个关系式得，，．
（升），（升）.
答：小红共用水30升，小敏共用水20升，小敏的方法更值得提倡．
素材五 数学素养提升
师生商谈生活中的反比例函数
6
师:举例说明生活中的反比例函数.
生:电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR,当U一定时,I是R的反比例函数,R也是
I的反比例函数.
生甲:在U=IR中,当I一定时U是R的什么函数?
师:U是R的正比例函数.
生乙:如何确定两个变量之间的关系是反比例函数关系?
生丙:如,将U=IR中的IR写成I=UR或I=UR-1,符合反比例函数的概念,所以变量I是变量
R的反比例函数.
生丁:如何确定两个变量之间的关系是正比例函数关系?
生戊:如,在U=IR中,当I一定时,U与R的关系符合正比例函数的概念y=kx(k≠0).
师:判定两个变量是什么函数关系,应根据常见的几种函数的概念,如:反比例函数y=(k≠0)等.
生:反比例、反比例关系与反比例函数有哪些联系和区别?
师:在小学算术里,我们曾经学习过,两种相关联的量,在其他条件不变的时候,如果其中的量扩大多少倍,另一种量就缩小多少倍,一种量缩小多少倍,另一种量就扩大相同的倍数,那么,这两种量就叫做反比例,它们之间的关系叫做反比例关系,写成式子是xy=k(k一定).
反比例函数y=(k≠0)中的变量x与y是两个相关的量,而且符合两个量成反比例的定义,因此,变量x与y成反比例,它们之间的关系叫做反比例关系,但是,反比例函数y=(k≠0)是在实数范围内讨论的,所以变量x与y的取值范围均为不等于零的一切实数,而成反比例和反比例关系是在小学所学习数的范围内进行研究的.
生:在反比例函数y=中,为什么规定k≠0?
师:在反比例函数y=的定义中,必须规定k≠0,否则,x取任何值时,y的值永远等于零,不发生任何变化,或者说,不符合上述条件.
生:你能举出成反比例的量吗?
生:在路程不变的条件下,速度和时间是成反比例的量,它们之间的关系是反比例关系.
生:你能举出反比例函数吗?
生:上述问题s=vt中,s一定,v是t的反比例函数,t也是v的反比例函数,但v>0且t>0.
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