第1节 函数及其表示
考试要求 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).
知 识 梳 理
1.函数与映射的概念
函数
映射
两个集合A，B
设A，B是两个非空数集
设A，B是两个非空集合
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
函数y＝f(x)，x∈A
映射：f：A→B
2.函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
[常用结论与易错提醒]
1.由函数解析式确定定义域的原则
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(1)分式中，分母不为0；
(2)偶次根式中，被开方数非负；
(3)对于幂函数y＝xα，如果α≤0，要求x≠0；
(4)对数函数中，真数大于0，底数大于0且不等于1；
(5)指数函数的底数大于0且不等于1；
(6)正切函数y＝tan x要求x≠kπ＋π，k∈Z.
2.与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.
基 础 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.( )
(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.( )
(3)函数y＝－1的值域是{y|y≥1}.( )
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )
解析 (1)函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.
(3)由于x2＋1≥1，故y＝－1≥0，故函数y＝－1的值域是{y|y≥0}.
(4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(必修1P25B2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析 A中函数定义域不是[－2，2]，C中图形不表示函数图象，D中函数值域不是[0，2].
答案 B
3.设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )
A.(1，2) B.(1，2]
C.(－2，1) D.[－2，1)
解析 由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴A＝[－2，2]，由1－x＞0得x＜1，∴B＝
(－∞，1).∴A∩B＝[－2，1)，故选D.
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答案 D
4.已知a为实数，设函数f(x)＝则f(2a＋2)的值为( )
A.2a B.a
C.2 D.a或2
解析 因为2a＋2＞2，所以f(2a＋2)＝log2(2a＋2－2)＝a，故选B.
答案 B
5.设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)＝__________.
解析 由题意得g(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，
∴g(x)＝2x－1.
答案 2x－1
6.设函数f(x)＝则f＝__________，方程f(f(x))＝1的解集为__________.
解析 因为f＝ln ，所以f＝f＝eln ＝.令f(x)＝t，由f(t)＝1，解得t＝0或t＝e，所以再解f(x)＝0及f(x)＝e，解得x＝1或x＝ee，所以方程f(f(x))＝1的解集为{1，ee}.
答案 {1，ee}
考点一 求函数的定义域
【例1】 (1)(2019·金丽衢十二校联考)函数y＝的定义域是________，值域是________.
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[1，2 020]，则函数g(x)＝的定义域是____________.
解析 (1)由3－2x－x2≥0，得－3≤x≤1，所以函数y＝的定义域为
[－3，1].当x＝－1时，y＝取得最大值2，当x＝1或－3时，y＝取得最小值0，所以函数y＝的值域为[0，2].
(2)∵y＝f(x)的定义域为[1，2 020]，
∴g(x)有意义，应满足
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∴0≤x≤2 019，且x≠1.
因此g(x)的定义域为{x|0≤x≤2 019，且x≠1}.
答案 (1)[－3，1] [0，2] (2){x|0≤x≤2 019，且x≠1}
规律方法 求函数定义域的类型及求法
(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.
(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.
(3)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域.
【训练1】 (1)(2019·杭州高级中学测试)已知函数f(x)＝的定义域为(1，2)，则函数f(x2)的定义域是( )
A.(1，2) B.(1，4)
C.R D.(－，－1)∪(1，)
(2)已知函数f(x)＝，当a＝1时不等式f(x)≥1的解集是________；若函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)由题意，得11或x0，有y≥x成立.
答案 C
9.(2019·北京石景山区一模)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步过程.设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的( )
A.点M B.点N
C.点P D.点Q
解析 由图知固定位置到点A距离大于到点C距离，所以舍去N，M点，不选A，B；若是P点，则从最高点到C点依次递减，与图1矛盾，因此取Q，即选D.
答案 D
二、填空题
10.函数f(x)＝ln＋的定义域为________.
解析 要使函数f(x)有意义，则⇒⇒00，所以f＝log2x，则f(x)＝log2＝－log2x.
答案 f(x)＝－log2x
13.设函数f(x)＝若f(a)＝f(2)，且a≠2，则a＝________，f(2a)＝________.
解析 f(2)＝16－4＝12，故f(a)＝12，而a≠2，故2a＋1＝12，解得：a＝log211＞3，故2a＝log2121＞3，故f(2a)＝f(log2121)＝2log2121＋1＝121＋1＝122.
答案 log211 122
14.已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a的取值范围是________.
解析 依题意可知
或
解得a∈[－2，2].
答案 [－2，2]
能力提升题组
15.设x∈R，定义符号函数sgn x＝则( )
A.|x|＝x|sgn x| B.|x|＝xsgn|x|
C.|x|＝|x|sgn x D.|x|＝xsgn x
解析 当x>0时，|x|＝x，sgn x＝1，则|x|＝xsgn x；
当xx，所以eex>ex>x，所以f(f(x))＝eex>x恒成立，B正确；C中，f(f(x))＝x4＝x，此方程有x＝0或x＝1两个根，所以f(f(x))－x>0不恒成立，C错误；D中，x＝0时，f(f(x))＝x成立，所以f(f(x))－x>0不恒成立，D错误.故选B.
答案 B
19.已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.
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解析 ∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，
∴f(f(－3))＝f(1)＝0.
当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，取等号，此时f(x)min＝2－3
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