变量分离技巧的应用
知 识 拓 展
分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端各含同一个变量，这是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一范围未知.
结论1 不等式f(x)≥g(a)恒成立⇔[f(x)]min≥g(a)(求解f(x)的最小值)；
不等式f(x)≤g(a)恒成立⇔[f(x)]max≤g(a)(求解f(x)的最大值).
结论2 不等式f(x)≥g(a)存在解⇔[f(x)]max≥g(a)(求解f(x)的最大值)；
不等式f(x)≤g(a)存在解⇔[f(x)]min≤g(a)(求解f(x)的最小值).
结论3 方程f(x)＝g(a)有解⇔g(a)的范围与f(x)的值域有交集(求解f(x)的值域).
解决问题时需要注意：(1)确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类；
(2)确定是求最大值、最小值，还是值域.
题 型 突 破
题型一 不等式恒成立求参数
【例1】 已知函数f(x)＝ax－ln(x＋1)＋a－1(x>－1，a∈R).
若函数f(x)在x＝0处取到极值，且对任意x∈(－1，＋∞)，f(x)≥mx＋m－2恒成立，求实数m的取值范围.
解 f′(x)＝a－，f′(0)＝a－1＝0，
∴a＝1，f(x)＝x－ln(x＋1)，
∴f(x)＝x－ln(x＋1)≥m(x＋1)－2，
∴m≤(x>－1).
令x＋1＝n，n>0，
∴m≤＝1－＋，
设g(n)＝1－＋，n>0，则g′(n)＝；
当n∈(0，e2)时，g′(n)0，g(n)单调递增，
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则g(n)min＝g(e2)＝1－，
∴m的取值范围为.
【训练1】 已知函数f(x)＝x2＋ax＋1，x∈(0，1]，且|f(x)|≤3恒成立，求a的取值范围.
解 由题意|x2＋ax＋1|≤3，
即－3≤x2＋ax＋1≤3，
所以－4－x2≤ax≤2－x2，
又x∈(0，1]，
即－－x≤a≤－x，
得≤a≤，
g(x)＝－－x在(0，1]上单调递增，
所以g(x)max＝g(1)＝－5.
h(x)＝－x在(0，1]上单调递减，
所以h(x)min＝h(1)＝1.
所以－5≤a≤1，即a的取值范围是[－5，1].
题型二 不等式有解求参数
【例2】 已知函数f(x)＝x3－x2＋2x＋1在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.
解 f′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，
使不等式f′(x)＝x2－ax＋2－1，即实数a的取值范围为(－1，＋∞).
题型三 含参数的方程有解问题
【例3】 已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有极值点，求实数a的最大值.
解 由题意f′(x)＝ln x－2ax＋1＝0在(0，＋∞)上有解，
∴a＝，x∈(0，＋∞)，
令g(x)＝，x∈(0，＋∞)，
g′(x)＝，
当x∈(0，1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞)
C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6)
解析 不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解等价于a0，所以2x＋≥2＝2，
当且仅当2x＝，即x＝0时等号成立，
故2x＋的最小值为2.
即mf(0)＝0－＝－1，所以a>－1.
答案 D
4.已知函数f(x)＝m·9x－3x，若存在非零实数x0，使得f(－x0)＝f(x0)成立，则实数m的取值范围是( )
A.m≥ B.01，
∴c≤＝f(t)，f′(t)＝＝，
当t>2＋时，f′(t)>0，函数f(t)单调递增；
当1
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