2020年中考数学必刷试卷02（含解析湖北武汉版）.docx

2020 年中考数学必刷试卷 02（湖北武汉专用） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的） 1．计算 的结果等于（ ） A．-9 B．9 C．-3 D．3 【答案】C 【解析】 =-3, 故选 C. 2．式子 有意义，则 x 的取值范围是（　　） A．x≥3 B．x≤3 C．x≥﹣3 D．x≤﹣3 【答案】C 【解析】根据题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3． 故选：C． 3．计算 3x2+2x2 的结果（　　） A．5 B．5x2 C．5x4 D．6x2 【答案】B 【解析】3x2+2x2， ＝（3+2）x2， ( 6) ( 3)− − − ( 6) ( 3)− − − 3x +＝5x2 故选 B． 4．下列说法：①“明天的降水概率为 80%”是指明天有 80%的时间在下雨；②连续抛一枚硬币 50 次，出现 正面朝上的次数一定是 25 次（　　） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】D 【解析】①“明天的降水概率为 80%”是指是指明天下雨的可能性是 80%，不是有 80%的时间在下雨，故① 错误； ②“连续抛一枚硬币 50 次，出现正面朝上的次数一定是 25 次”，这是一个随机事件，抛一枚硬币，出现正 面朝上或者反面朝上都有可能，但事先无法预料，故②错误； ①和②都是错误的． 故选 D． 5．计算(a－1)2 正确的是（ ） A．a2－1 B．a2－2a＋1 C．a2－2a－1 D．a2－a＋1 【答案】B 【解析】∵(a−1)²=a²−2a+1， ∴与(a−1)²相等的是 B， 故选：B. 6．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 A、B、C 的坐标分别为（2，0）、（0，1）、（1，2），则 AB+BC 的值 为（　　）A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】∵点 A、B 的坐标分别为（2，0）、（0，1）， ∴OA＝2，OB＝1， ∴AB＝ ， 过 C 作 CE⊥y 轴于 E， ∵点 C 的坐标为（1，2）， ∴CE＝1，OE＝2， ∴BE＝1， ∴BC＝ ， ∴AB+BC＝ + ， 故选：A． 7．如图，下面几何体的左视图是（ ） 5 2+ 2 22 1 5+ = 2 21 1 2+ = 5 2A． B． C． D． 【答案】B 【解析】从左边看，有两列，左边一列有三个正方形，右边有一个正方形 故选 B 8．世界因爱而美好，在今年我校的“献爱心”捐款活动中，九年级三班 50 名学生积极加献爱心捐款活动， 班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图，根据图中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是 （ ） A．20、20 B．30、20 C．30、30 D．20、30 【答案】C 【解析】由表提供的信息可知，一组数据的众数是这组数中出现次数最多的数，而中位数则是将这组数据 从小到大（或从大到小）依次排列时，处在最中间位置的数，据此可知这组数据的众数，中位数． 根据右图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是 30，30. 故选 C. 9．如图，在底边 BC 为 2 ，腰 AB 为 2 的等腰三角形 ABC 中，DE 垂直平分 AB 于点 D，交 BC 于点 E，则△ACE3的周长为( ) A．2+ B．2+2 C．4 D．3 【答案】B 【解析】∵DE 垂直平分 AB， ∴BE=AE， ∴AE+CE=BC=2 ， ∴△ACE 的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2 ， 故选 B． 10．如图，以半圆中的一条弦 BC（非直径）为对称轴将弧 BC 折叠后与直径 AB 交于点 D，若 ，且 AB ＝10，则 CB 的长为（　　） A． B． C． D．4 【答案】A 【解析】如图，若 ，且 AB＝10， ∴AD＝4，BD＝6， 作 AB 关于直线 BC 的对称线段 A′B，交半圆于 D′，连接 AC、CA′， 3 3 3 3 3 2 3 AD DB = 4 5 4 3 4 2 2 3 AD DB =可得 A、C、A′三点共线， ∵线段 A′B 与线段 AB 关于直线 BC 对称， ∴AB＝A′B， ∴AC＝A′C，AD＝A′D′＝4，A′B＝AB＝10． 而 A′C•A′A＝A′D′•A′B，即 A′C•2A′C＝4×10＝40． 则 A′C2＝20， 又∵A′C2＝A′B2﹣CB2， ∴20＝100﹣CB2， ∴CB＝4 ． 故选 A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11． 的算术平方根是_______. 【答案】3 【解析】因为 =9， 所以 的算术平方根是 3， 故答案为 3 12．化简 a2 a - 1 - 1 - 2a 1 - a 的结果为_____． 5 81 81 81【答案】a-1 【解析】原式＝a2 - 2a + 1 a - 1 ＝a﹣1， 故答案为：a﹣1， 13．如图，在 3×3 的方格纸中，点 A，B，C，D，E 分别位于格点上．从 A，D，E 三点中任意取一点，以所 取的这一点及 B，C 为顶点画三角形，则所画三角形是直角三角形的概率是______________． 【答案】 【解析】以所取的这一点及 B，C 为顶点画三角形有△ABC、△DBC、△EBC 三种情况， 其中所画三角形是直角三角形的有△ABC、△DBC 这 2 种结果， 所以所画三角形是直角三角形的概率是 ， 故答案为 . 14．如图，▱ABCD 中，AD＝2AB，AH⊥CD 于点 H，N 为 BC 中点，若∠D＝68°，则∠NAH＝_____． 【答案】34° 【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD＝BC，∠B＝∠D＝68°，∠BAD＝180°﹣∠D＝112°， 2 3 2 3 2 3∵N 为 BC 中点， ∴BC＝2BN， ∵BC＝AD＝2AB， ∴AB＝BN， ∴∠BAN＝∠ANB＝1 2（180°﹣68°）＝56°， ∵AH⊥CD， ∴∠DAH＝90°﹣∠D＝22°， ∴∠NAH＝∠BAD﹣∠BAN﹣∠DAH＝34°； 故答案为：34°． 15．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90o，AB=5，AC=4，线段 AD 由线段 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 90o 得到，△EFG 由△ABC 沿 CB 方向平移得到，且直线 EF 过点 D，BD 交 AE 于 H，则 AH=________. 【答案】25 7 【解析】根据旋转的性质可知∠ADB=∠ABD=45°，根据平移的性质可知 AB∥FD， ∴∠FDB=∠ABD=45°．∴∠ADE=45°+45°=90°，∴∠ADE=∠ACB． 又∵∠EAB+∠EAD=90°，∠EAB+∠BAC=90°，∴∠EAD=∠BAC． ∴△ADE∽△ACB．∴AD AC = AE AB = DE BC ， 可得 AE=AD AC × AB = 5 4 × 5 = 25 4 ，DE=AD AC × BC = 5 4 × 3 = 15 4 ，∵∠AHB=∠DHE, ∠FDB=∠ABD，∴△ABH∽△EDH， ∴DE AB = EH AH ，可得EH AH = 3 4,∵AE=25 4 ,∴AH=25 7 ,故答案为25 7 . 16．二次函数 y＝﹣x2+2kx﹣4 在﹣1≤x≤2 时，y≤0 恒成立，则实数 k 的取值范围是____. 【答案】 ． 【解析】根据题意：函数图象对称轴为 x＝﹣ ＝k， ①当 k≤﹣1 时，此时只需 x＝-1 时 y≤0 即可，k≥ ，故 符合条件； ②当﹣1＜k＜2 时，此时只需 x=k 时 y≤0 即可，即 ，故﹣1＜k＜2 符合条件； ③当 k≥2 时，此时只需 x＝2 时 y≤0 即可，k≤2，故 k=2 符合题意， 所以 k 的取值范围为 ， 故答案为 ． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 8 分）解方程组: 【解析】 依题意①×2 得 4x-6y=-10③ ②×3 得 9x+6y=-3④ ③+④得：13x=-13,解得 x=-1， 把 x=-1 代入①，解得 y=1， 5 22- k≤ ≤ 2 2 k − 5- 2 5 12- k≤ ≤ − 2 22 4 0- k k+ − ≤ 5 22- k≤ ≤ 5 22- k≤ ≤ 2 3 5 3 2 1 x y x y − = −  + = − 2 3 5 3 2 1 x y x y − = −  + = − ① ②∴原方程组的解为 18．（本小题满分 8 分）如图，已知 A、B、C、D 四点顺次在同一条直线上，AE∥FD，AE＝FD，AB＝CD，求 证：∠ACE＝∠DBF． 【解析】∵AE∥DF， ∴∠A＝∠D． ∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC． 即 AC＝BD． 在△AEC 和△DFB 中， ， ∴△AEC≌△DFB（SAS）， ∴∠ACE＝∠DBF． 19．（本小题满分 8 分）央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲 购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史 类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图 中信息，解答下列问题： 1 1 x y = −  = AE DF A D AC BD = ∠ = ∠  =（1）此次共调查了　 　名学生； （2）将条形统计图 1 补充完整； （3）图 2 中“小说类”所在扇形的圆心角为　 　度； （4）若该校共有学生 2000 人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数． 【解析】(1)∵喜欢文史类的人数为 76 人，占总人数的 38%， ∴此次调查的总人数为：76÷38%＝200 人， 故答案为 200； (2)∵喜欢生活类书籍的人数占总人数的 15%， ∴喜欢生活类书籍的人数为：200×15%＝30 人， ∴喜欢小说类书籍的人数为：200﹣24﹣76﹣30＝70 人， 如图所示：(3)∵喜欢社科类书籍的人数为：24 人， ∴喜欢社科类书籍的人数占了总人数的百分比为： ×100%＝12%， ∴喜欢小说类书籍的人数占了总分数的百分比为：100%﹣15%﹣38%﹣12%＝35%， ∴小说类所在圆心角为：360°×35%＝126°； (4)由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的 12%， ∴该校共有学生 2000 人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：2000×12%＝240 人． 20．（本小题满分 8 分）武商量贩销售 A，B 两种商品，售出 4 件 B 种商品所得利润为 400 元；售 出 3 件 A 种商品和 5 件 B 种商品所得利润为 1100 元． (1) 求每件 A 种商品和每件 B 种商品售出后所得利润分别为多少元； (2) 由于需求量大，A，B 两种商品很快售完，武商量贩决定再一次购进 A，B 两种商品共 34 件，如果将这 34 件商品全部售完后所得利润不低于 4000 元，那么武商量贩至少需购进多少件 A 种商品？ 【解析】（1）设每件 A 种商品售出后所得利润为 x 元，每件 B 种商品售出后所得利润为 y 元．由题意，得 解得： . 24 100 4 400 3 5 1100 y x y =  + = 200 100 x y =  =答：每件 A 种商品售出后所得利润为 200 元，每件 B 种商品售出后所得利润为 100 元． （2）设购进 A 种商品 a 件，则购进 B 种商品（34-a）件．由题意，得 200a+100（34-a）≥4000， 解得：a≥6 答：威丽商场至少需购进 6 件 A 种商品． 21．（本小题满分 8 分）如图，△ABC 内接于⊙O，BC 为直径，∠BAC 的平分线与 BC 和⊙O 分别相交于 D 和 E，P 为 CB 延长线上一点，PB＝5，PA＝10，且∠DAP＝∠ADP． （1）求证：PA 与⊙O 相切； （2）求 sin∠BAP 的值； （3）求 AD•AE 的值． 【解析】（1）证明：连接 OA，如图 1 所示： ∵AE 平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠DAP＝∠BAD+∠PAB，∠ADP＝∠CAD+∠C，∠DAP＝∠ADP， ∴∠PAB＝∠C， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠C＝∠PAB， ∵BC 为直径，∴∠BAC＝90°，即∠OAC+∠OAB＝90°， ∴∠PAB+∠OAB＝90°，即∠OAP＝90°， ∴AP⊥OA， ∴PA 与⊙O 相切； （2）解：∵∠P＝∠P，∠PAB＝∠C， ∴△PAB∽△PCA， ∴ ∵∠CAB＝90°， ∴ ∴sin∠BAP＝sin∠C＝ ； （3）解：连接 CE，如图 2 所示： ∵PA 与⊙O 相切， ∴PA2＝PB×PC，即 102＝5×PC， ∴PC＝20， ∴BC＝PC﹣PB＝15， ∵ ∴ ， ∵AE 是∠BAC 的角平分线， 1 ,2 AB PB AC PA = = 1 5 ,55 AB BC = = 5 5 5 ,5 AB BC = 5 3 5,5AB BC= = 2 6 5AC AB= =∴∠BAD＝∠CAE， ∵∠E＝∠ABD， ∴△ACE∽△ADB， ∴ ∴ 22．（本小题满分 10 分）矩形 AOBC 中，OB＝8，OA＝4．分别以 OB，OA 所在直线为 x 轴，y 轴，建立如图 1 所示的平面直角坐标系．F 是 BC 边上一个动点（不与 B，C 重合），过点 F 的反比例函数 y＝ （k＞0）的 图象与边 AC 交于点 E． （1）当点 F 运动到边 BC 的中点时，求点 E 的坐标； （2）连接 EF、AB，求证：EF∥AB； （3）如图 2，将△CEF 沿 EF 折叠，点 C 恰好落在边 OB 上的点 G 处，求此时反比例函数的解析式． 【解析】（1）∵四边形 OACB 是矩形，OB＝8，OA＝4， ∴C（8，4）， AE AC AB AD = 3 5 6 5 90AD AE AB AC⋅ = ⋅ = × = ． k x∵点 F 是 BC 中点， ∴F（8，2）， ∵点 F 在 y＝ 上， ∴k=16，反比例函数解析式为 y＝ ∵点 E 在反比例函数图像上，且 E 点的纵坐标为 4， ∴4＝ ∴x=4 ∴E（4，4）． （2）连接 AB，设点 F（8，a）， ∴k＝8a， ∴E（2a，4）， ∴CF＝4﹣a，EC＝8﹣2a， 在 Rt△ECF 中，tan∠EFC＝ ＝2， 在 Rt△ACB 中，tan∠ABC＝ ＝2， ∴tan∠EFC＝tan∠ABC， ∴∠EFC＝∠ABC， k x 16 x 16 x 8-2 4 EC a FC a = − AC BC∴EF∥AB． （3）如图， 设将△CEF 沿 EF 折叠后，点 C 恰好落在 OB 上的 G 点处， ∴∠EGF＝∠C＝90°，EC＝EG，CF＝GF， ∴∠MGE+∠FGB＝90°， 过点 E 作 EM⊥OB， ∴∠MGE+∠MEG＝90°， ∴∠MEG＝∠FGB， ∴Rt△MEG∽Rt△BGF， ∴ ， ∵点 E（ ，4），F（8， ）， ∴EC＝AC﹣AE＝8﹣ ，CF＝BC﹣BF＝4﹣ ， ∴EG＝EC＝8﹣ ，GF＝CF＝4﹣ ， ∵EM＝4， ∴ ， EM EG GB GF = 4 k 8 k 4 k 8 k 4 k 8 k 84 4 4 8 k kGB − = −∴GB＝2， 在 Rt△GBF 中，GF2＝GB2+BF2， 即：（4﹣ ）2＝（2）2+（ ）2， ∴k＝12， ∴反比例函数表达式为 y＝ ． 23．（本小题满分 10 分）如图（1），AB⊥BC，CD⊥BC，点 E 在线段 BC 上，AE⊥ED， 求证：（1） ． （2）在△ABC 中，记 tanB＝m，点 E 在边 AB 上，点 D 在直线 BC 上． ①如图（2），m＝2，点 D 在线段 BC 上且 AD⊥EC，垂足为 F，若 AD＝2EC，求 ； ②如图（3），m＝ ，点 D 在线段 BC 的延长线上，ED 交 AC 于点 H，∠CHD＝60°，ED＝2AC，若 CD＝ 3 ，BC＝4 ，直接写出△BED 的面积． 【解析】（1）∵AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥ED， ∴∠B＝∠C＝∠AED＝90°， ∴∠A+∠AEB＝∠AEB+∠DEC＝90°， ∴∠A＝∠DEC， 8 k 8 k 12 x AB CE BE CD = CD BE 3 3 3 3∴△ABE∽△ECD， ∴ ； （2）如图，过点 A 作 AM⊥BC 于点 M，过点 E 作 EH⊥BC 于点 H， ∵tanB＝m＝2＝ ， ∴设 EH＝2x，BH＝x，AM＝2BM， ∴BE＝ ， ∵AF⊥EC，AM⊥CD， ∴∠ADC+∠DCE＝90°，∠ADC+∠DAM＝90°， ∴∠DAM＝∠DCE，且∠AMD＝∠EHC＝90°， ∴△EHC∽△DMA，且 AD＝2EC， ∴ ， ∴DM＝2EH＝4x，AM＝2HC， ∵AM＝2HC，AM＝2BM， ∴HC＝BM， ∴HC﹣HM＝BM﹣HM， ∴BH＝MC＝x， AB CE BE CD = EH AM BH BM = 2 2BH EH 5x+ = 2AD DM AM EC EH HC = = =∴DC＝DM+MC＝5x， ∴ ； （3）如图，作∠BCF＝∠B，交 AB 于点 F，过点 D 作 GD⊥BD 交 BA 的延长线于点 G，过点 F 作 FM⊥BC 于点 M， ∵tanB＝m＝ ， ∴∠B＝30°， ∵∠BCF＝∠B＝30°， ∴BF＝FC，且 FM⊥BC，BC＝4 ， ∴BM＝MC＝2 ，且∠B＝30°，FM⊥BC， ∴FM＝2，BF＝FC＝4， ∵CD＝3 ，BC＝4 ， ∴BD＝7 . 又∵∠BCF＝∠B＝30°，GD⊥BD， 5 5 5 CD x BE x = = 3 3 3 3 3 3 3∴∠G＝60°，∠AFC＝60°，GD＝7，BG＝2DG＝14， ∵∠BCA＝∠BDE+∠CHD＝∠BDE+60°＝∠BCF+∠ACF＝30°+∠ACF， ∴∠ACF＝30°+∠BDE，且∠AEH＝∠B+∠BDE＝30°+∠BDE， ∴∠ACF＝∠AEH，且∠G＝∠AFC＝60°， ∴△GED∽△FCA， ∴ ，且 DE＝2AC， ∴GD＝2AF，EG＝2FC＝8， ∴AF＝ ， ∴BE＝BG﹣EG＝14﹣8＝6， ∵S△BGD＝ ×BD×GD＝ ， ∴S△BED＝ . 24．（本小题满分 12 分）已知开口向下的抛物线 y＝ax2﹣2ax+3 与 x 轴的交点为 A、B 两点（点 A 在点 B 的 左边），与 y 轴的交点为 C，OC＝3OA （1）请直接写出该抛物线解析式； （2）如图，D 为抛物线的顶点，连接 BD、BC，P 为对称轴右侧抛物线上一点．若∠ABD＝∠BCP，求点 P 的 坐标 （3）在（2）的条件下，M、N 是抛物线上的动点．若∠MPN＝90°，直线 MN 必过一定点，请求出该定点的 坐标． DE GD EG AC AF FC = = 7 2 1 2 49 3 2 49 3 6 21 3 2 6 8 2 × =+【解析】（1）当 x＝0 时，y＝ax2﹣2ax+3＝3， ∴C（0，3），OC＝3OA＝3， ∴OA＝1，A（﹣1，0）， 把点 A（﹣1，0）代入抛物线解析式得：a+2a+3＝0， 解得：a＝﹣1， ∴抛物线解析式为 y＝﹣x2+2x+3； （2）如图 1，若点 P 在抛物线对称轴右侧且在 x 轴上方， 过点 P 作 PE∥y 轴交 BC 于点 E，PF⊥BC 于点 F，过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H， ∴∠CFP＝∠BHD＝90°， ∵当 y＝﹣x2+2x+3＝0 时，解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点 D（1，4），∴DH＝4，BH＝3﹣1＝2， ∴BD＝ ， ∴Rt△BDH 中，sin∠ABD＝ ， ∵C（0，3） ∴BC＝ ，PC＝ ， 设直线 BC 解析式为 y＝kx+b， ∴ ，解得： ， ∴直线 BC 解析式为 y＝﹣x+3， 设 P（p，﹣p2+2p+3）（1＜p＜3），则 E（p，﹣p+3）， ∴PE＝﹣p2+2p+3﹣（﹣p+3）＝﹣p2+3p， ∵S△BCP＝ PE•OB＝ BC•PF， ∴PF＝ ， ∵∠ABD＝∠BCP， ∴Rt△CPF 中，sin∠BCP＝ ＝sin∠ABD＝ ， ∴PF＝ PC， ∴PF2＝ PC2， 解得：p1＝﹣1（舍去），p2＝ ， 2 2 2 22 4 2 5BH DH+ = + = 4 2 5 52 5 DH BD = = 2 23 3 =3 2+ 2 2 2( 2 )p p p+ − + 3 0 0 3 k b b + =  + = 1 3 k b = −  = 1 2 1 2 2 23( 3 ) 3 3 2 2 PE OB P P P P BC ⋅ − − + − += = PE PC 2 5 5 2 5 5 4 5 5 3∴﹣p2+2p+3＝ ， ∴点 P 坐标为（ ， ） 如图 2，若点 P 在 x 轴下方， ∵tan∠ABD＝ ＝2＞tan45°， ∴∠ABD＞45°， ∵∠BCP＜∠BOC 即∠BCP＜45°， ∴∠ABD 与∠BCP 不可能相等． 综上所述，点 P 坐标为（ ， ）； （3）如图 3，过 P 作 PH∥y 轴，分别过点 M、N 作 MG⊥PH 于 G，NH⊥PH 于 H． 设直线 MN 的解析式为 y＝kx+n，M（x1，y1）、N（x2，y3）， 32 9 5 3 32 9 DH BH 5 3 32 9令 kx+n＝﹣x2+2x+3，即＝x2+（k﹣2）x+n﹣3＝0， ∴x1+x2＝2﹣k，x1x2＝n﹣3， ∴y1+y2＝k（x1+x2）+2n＝k（2﹣k）+2n， y1y2＝（kx1+n）（kx2+n）＝k2x1x2+nk（x1+x2）+n2＝﹣3k2+2nk+n2， ∵∠G＝∠MPN＝∠H， ∴△MPG∽△PNH， ∴ ， ∵P 坐标为（ ， ）， MG＝ ﹣x1，PH＝y1﹣ ，HN＝ ，GP＝ ， ∴ ， 整理，得 ， ∴ ， 解得 k1＝﹣3n+ ，k2＝ ， ∴直线 MN；y＝（﹣3n+ ）x+n＝（﹣3x+1）n+ ，过定点（ ， ）； 或 y＝（ ）x+n＝（ ）n+ ，过定点（ ， ）即 P 点，舍去． MG GP PH HN = 5 3 32 9 5 3 32 9 2 5 3 x− 2 32 9 y− 1 2 1 1 5 32 3 9 32 5 9 3 x y y x − − = − − 1 2 1 2 1 2 1 2 25 5 32 1024( ) ( )9 3 9 81x x x x y y y y− + + = + + − 2 2 225 5 32 1024(2 ) 3 ( 2 2 ) 3 29 3 9 81k n y k k n k nk n− − + − = − + + − − − 23 3 3 32 5 15n− + 23 3 23 3 1 3 23 9 3 32 5 15n− + 5 13 x− + 32 15 5 3 32 9∴直线 MN 过定点（ ， ）．1 3 23 9