2020 年中考数学必刷试卷 06(湖北武汉专用)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符
合题目要求的)
1.﹣ 的绝对值为( )
A.﹣2 B.﹣ C. D.1
【答案】C
【解析】﹣ 的绝对值为|- |=-(﹣ )= .
2.要使式子 有意义, 的取值范围是( )
A. B. 且
C. . 或 D. 且
【答案】D
【解析】∵ 有意义,
∴a+2≥0 且 a≠0,
解得 a≥-2 且 a≠0.
故本题答案为:D.
3.数据 1、10、6、4、7、4 的中位数是( ).
A.9 B.6 C.5 D.4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2a
a
+ a
0a ≠ 0a ≠
2a > − 0a ≠ 2a ≥ − 0a ≠
2a
a
+【答案】C
【解析】由题意可知:这组数据的个数有 6 个,故中位数是按从小到大排列后的第 3、4 两个数的平均数作
为中位数.
故这组数据的中位数是
故选
4.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志,在这四个标志中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据轴对称图形的概念可知:
A、不是轴对称图形,故本选项错误;
B、是轴对称图形,故本选项错误;
C、不是轴对称图形,故本选项错误;
D、不是轴对称图形,故本选项正确.
故选 B.
5.图①是由一个完全相同的小正方体组成的立体图形,将图①中的一个小正方体改变位置后如图②,则三
视图发生改变的是( )
A.主视图,俯视较和左视图都改变
1 (4 6) 52
+ =
CB.左视图
C.俯视图
D.主视图
【答案】D
【解析】图①的主视图是第一层三个小正方形,第二层中间一个小正方形;左视图是第一层两个小正方形,第
二层左边一个小正方形;俯视图是第一层中间一个小正方形,第二层三个小正方形;
②的主视图是第一层三个小正方形,第二层中间一个小正方形;左视图是第一层两个小正方形,第二层左边一
个小正方形;俯视图是第一层中间一个小正方形,第二层三个小正方形;所以主视图发生改变,选 D
6.一个不透明的布袋里装有 7 个只有颜色不同的球,其中 3 个红球,4 个白球,从布袋中随机摸出一个球,
摸出的球是红球的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】袋中一共 7 个球,摸到的球有 7 种可能,而且机会均等,其中有 3 个红球,因此摸到红球的概率
为 ,故选 B.
7.以二元一次方程组 的解为坐标的点(x,y)在平面直角坐标系的( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【解析】解方程组 得 ,所以点的坐标为(3,4),则点在第一象限.
故选 A.
8.如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象,对于下列说法:①ac>0,②2a+b>0,③4ac<b2,④a+b+c<0,⑤
4
7
3
7
3
4
1
3
3
7
3 7
1
x y
y x
+ =
− =
7
1
x y
y x
−
+ =
=
3
4
x
y
=
=当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小,其中正确的是( )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.③④⑤
【答案】C
【解析】①由图象可知:a>0,c<0,
∴ac<0,故①错误;
②由于对称轴可知: <1,
∴2a+b>0,故②正确;
③由于抛物线与 x 轴有两个交点,
∴△=b2﹣4ac>0,故③正确;
④由图象可知:x=1 时,y=a+b+c<0,
故④正确;
⑤当 x> 时,y 随着 x 的增大而增大,故⑤错误;
故选:C.
9.定义:a 是不为 1 的有理数,我们把 称为 a 的差倒数,如:2 的差倒数是 =﹣1,﹣1 的差倒
数是 = ,已知 a1=﹣ ,a2 是 a1 的差倒数,a3 是 a2 的差倒数,a4 是 a3 的差倒数,…,以此类
推,a2009 的值为( )
b
2a
−
b
2a
−
1
1 a−
1
1 2−
( )
1
1 1− −
1
2
1
3A.﹣ B. C.4 D.
【答案】B
【解析】∵a1=﹣ ,
∴a2=
a3=
a4=
…
∴每 3 个数为一周期循环,
∵2009÷3=669…2,
∴a2009=a2= ,
故选 B.
10.如图,在扇形 OAB 中,点 C 是弧 AB 上任意一点(不与点 A,B 重合),CD∥OA 交 OB 于点 D,点 I 是△OCD
的内心,连结 OI,BI.若∠AOB=β,则∠OIB 等于( )
A.180° β B.180°-β C.90°+ β D.90°+β
【答案】A
1
3
3
4
4
3
1
3
1 3
1 41 3
=
− −
1 431 4
=
−
1 1
1 4 3
= −−
3
4
1
2
− 1
2【解析】连接 IC,
∵ CD∥OA ,
∴∠AOC=∠OCD,
∵∠AOC+∠COB=∠AOB= β ,
∴∠OCD+∠COB= β ,
∵ 点 I 是△OCD 的内心 ,
∴∠COI+∠OCI= ,
∴ ∠OIC=180°-(∠COI+∠OCI)= 180°- β ;
在△COI 与△BOI 中,
∵OC=OB,∠COI=∠BOI,OI=OI,
∴△COI≌△BOI,
∴ ∠OIB =∠OIC= 180°- β.
故答案为 A.
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)
11.计算: _______.
【答案】
1 1( )2 2OCD COB β∠ + ∠ =
1
2
1
2
3 6⋅
3 2【解析】
12.袋子中有 10 个除颜色外完全相同的小球在看不到球的条件下,随机地从袋中摸出一个球,记录颜色后
放回,将球摇匀重复上述过程 1500 次后,共到红球 300 次,由此可以估计袋子中的红球个数是_____.
【答案】2
【解析】设袋子中红球有 x 个,
根据题意,得: ,
解得:x=2,
所以袋中红球有 2 个,
故答案为:2
13.化简: =_____.
【答案】
【解析】原式=
=
=
14.如图,△ABC 中,D、E 分别为 AB、AC 中点,延长 DE 到 F,使 EF=DE,AB=12,BC=10,则四边形 BCFD
的周长为_______.
3 6= 18=3 2⋅
300
10 1500
x =
2
2 2
2 -2 -2
+1 -1 2 1
x x x
x x x x
− ÷ − +
1
x
22 2 ( 1
1 ( 1 1) ( 2)
x x
x x x x x
− −− ×+ + − −
)
)(
2 1 2 ( 1)
1 ( 1) ( 1)
x x x
x x x x x
− − − −− =+ + +
1
x【答案】32
【解析】∵D、E 分别为 AB、AC 中点,
∴DE= BC,
∵BC=10,
∴DE=5,
∵在△ADE 和△CFE 中, ,
∴△ADE≌△CFE,
∴CF=BD= AB=6,
∵DE=FE=5,
∴DF=10,
∴四边形 BCFD 的周长为:BD+BC+CF+DF=6+10+6+10=32,
故答案为:32.
15.如图所示,已知 A(1,y1),B(2,y2)为反比例函数 y= 图象上的两点,动点 P(x,0)在 x 轴正半
轴上运动,当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时,点 P 的坐标是______.
【答案】(3,0)
1
2
AE CE
AED CEF
DE FE
=
∠ = ∠
=
1
2
1
x【解析】把 A(1,y1),B(2,y2)代入 y=
得 y1=1,y2=
,则 A 点坐标为(1,1),B 点坐标为(2, ),
设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,
把 A(1,1),B(2, )代入得
,解得 ,
所以直线 AB 的解析式为 y=
因为|PA-PB|≤AB,
所以当点 P 为直线 AB 与 x 轴的交点时,线段 AP 与线段 BP 之差达到最大,
把 y=0 代入 ,得 ,解得 x=3,
所以 P 点坐标为(3,0).
故答案为(3,0).
16.如图,△ACB 中,∠ACB=90°,在 AB 的同侧分别作正△ACD、正△ABE 和正△BCF. 若四边形 CDEF 的周
长是 24,面积是 17,则 AB 的长是_______.
【答案】2
【解析】如图,过 C 作 CG⊥EF 于 G,设 BC=a,AC=b,
1
x
1
2
1
2
1
2
1
12 2
k b
k b
+ = + =
1
2
3
2
k
b
= −
=
1 3
2 2x− +
1 3
2 2y x= − + 1 3 02 2x− + =
19∵△ACD,△ABE,△BCF 都是等边三角形,
∴AD=AC,AE=AB,∠DAC=∠EAB=60°,
∴∠DAE=∠CAB,∴△ADE≌△ACB,
∴DE=CB=CF=a,
同理可得,EF=AC=DC=b,
∴四边形 CDEF 是平行四边形,
∵∠ACD=∠BCF=60°,∠ACB=90°,
∴∠DCF=150°,
∴∠CFG=30°,
∴CG= CF
∵四边形 CDEF 的周长是 24,面积是 17,
∴a+b=12,ab=34
∵∠ACB=90°
∴AB2=
∴AB=2
三、解答题(本大题共 8 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 8 分)化简:(a﹣b)2﹣a(a﹣2b)
【解析】(a﹣b)2﹣a(a﹣2b)
=a2﹣2ab+b2﹣a2+2ab
1
2
( )22 2 2 144 68 76a b a b ab+ = + - = - =
19=b2.
18.(本小题满分 8 分)如图,E 点为 DF 上的点,B 为 AC 上的点,∠1=∠2,DF∥AC,求证:∠C=∠D.
【解析】∵∠1=∠2,
又∵∠1=∠3,∠2=∠4,
∴∠3=∠4,
∴BD∥CE,
∴∠DBA=∠C,
∵DF∥AC,
∴∠D=∠DBA,
∴∠C=∠D.
19.(本小题满分 8 分)为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况,随机抽取部分中学生进行调查,根
据调查结果,将阅读时长分为四类:2 小时以内,2~4 小时(含 2 小时),4~6 小时(含 4 小时),6 小时
及以上,并绘制了如图所示尚不完整的统计图.(1)本次调查共随机抽取了 名中学生,其中课外阅读时长“2~4 小时”的有 人;
(2)扇形统计图中,课外阅读时长“4~6 小时”对应的圆心角度数为 °;
(3)若该地区共有 20000 名中学生,估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于 4 小时的人数.
【解析】(1)本次调查共随机抽取了:50÷25%=200(名)中学生,
其中课外阅读时长“2~4 小时”的有:200×20%=40(人),
故答案为:200,40;
(2)扇形统计图中,课外阅读时长“4~6 小时”对应的圆心角度数为:360°×(1﹣ ﹣20%﹣25%)=
144°,
故答案为:144;
(3)20000×(1﹣ ﹣20%)=13000(人),
答:该地区中学生一周课外阅读时长不少于 4 小时的有 13000 人.
20.(本小题满分 8 分)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC 的三个顶点坐标分别 A(1,4),B(2,0),
C(3,2)
(1)画出将△ABC 沿 AC 翻折得到的△AB1C1;
(2)画出将△ABC 沿 x 轴翻折得到的△A2BC2;
(3)观察发现:△A2BC2 可由△AB1C 绕点 (填写坐标)旋转得到
(4)在旋转过程中,点 B1 经过的路径长为 .
30
200
30
200【解析】(1)如图:
(2)如图:
(3)(5,0)
(4)B1 经过的路径是以(5,0)为圆心,BB1 为半径的圆弧,
∴C= ×2×π×3= π;
21.(本小题满分 8 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的半圆 O 交 BC 于点 D,交 AC 于点 E,过
点 A 作半圆 O 的切线交 BC 的延长线于点 F,连结 BE,AD
1
4
3
2(1)求证:∠F=∠EBC;
(2)若 AE=2,tan∠EAD=1
2,求 AD 的长.
【解析】(1)证明:∵AB 为直径,
∴∠AEB=∠CEB=90°,即∠EBC+∠ACB=90°,
∵AF 切半圆 O 于点 A,
∴∠FAB=90°,
∴∠F+∠ABC=90°,
∵AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC,
∴∠F=∠EBC;
(2)解:∵∠EAD=∠CBE,
∴tan∠EAD = tan∠CBE = 1
2,
∴设 CE=x,则 BE=2x,AB=AC=2+x.
在 Rt△AEB 中,22+(2x)2=(2+x)2,解得,x1=0(舍去),x2 = 4
3.
∴AC = 2 + x = 2 + 4
3 = 10
3 ,
在 Rt△ACD 中,CD2+AD2=AC2,
∴(1
2AD)2 + AD2 = (10
3 )
2,
∴AD = 4 5
3 .
22.(本小题满分 10 分)春暖花开,树木萌芽,某种时令蔬菜的价格呈上升趋势,若这种蔬菜开始时的售
价为每斤 20 元,并且每天涨价 2 元,从第六天开始,保持每斤 30 元的稳定价格销售,直到 11 天结束,该
蔬菜退市.
(1)请写出该种蔬菜销售价格 y 与天数 x 之间的函数关系式;
(2)若该种蔬菜于进货当天售完,且这种蔬菜每斤进价 z 与天数 x 的关系为 z=﹣ +12
(1≤x≤11),且 x 为整数,那么该种蔬菜在第几天售出后,每斤获得利润最大?最大利润为多少?
【解析】(1)该种蔬菜销售价格 y 与天数 x 之间的函数关系式:y= ;
(2)设利润为 W,则 W=y﹣z= ,
W= ,对称轴是直线 x=0,当 x>0 时,W 随 x 的增大而增大,
∴当 x=5 时,W 最大= +14=17.125(元)
W= ,对称轴是直线 x=8,当 x>8 时,W 随 x 的增大而增大,
∴当 x=11 时,W 最大= ×9+18=19 =19.125(元)
21 ( 8)8
−x
( ) ( )
( )
20 2 1 2 18 1 6
30 6 11
x x x
x
+ − = + ≤ ≤ ≤ ≤
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
2 2
2 2
1 12 18 8 12 14 1 68 8
1 130 8 12 8 18 6 118 8
x x x x x
x x x x
+ + − − = + ≤ ≤
+ − − = − + ≤ ≤
为整数
为整数
21 148 x +
25
8
( )21 8 188 x − +
1
8
1
8综上可知:在第 11 天进货并售出后,所获利润最大且为每件 19.125 元.
23.(本小题满分 10 分)在 中, ,点 与点 在 同侧, ,且
,过点 作 交 于点 为 的中点,连接 .
(1)如图 1,当 时,线段 与 的数量关系是 ;
(2)如图 2,当 时,试探究线段 与 的数量关系,并证明你的结论;
(3)如图 3,当 时,求 的值.
【解析】(1) .如图,延长 交 于 ,
,
,
,
,
Rt ABC∆ 90ACB∠ = D B AC DAC BAC∠ > ∠
DA DC= B / /BE DA DC ,E M AB ,MD ME
90ADC∠ = MD ME
ADC 60∠ = MD ME
ADC α∠ = ME
MD
MD ME= EM AD F
/ /BE DA FAM EBM∴∠ = ∠ ,
AM BM AMF BME= ∠ = ∠ , AMF BME∴∆ ∆≌
AF BE MF ME∴ = =,
90DA DC ADC= ∠ = ° ,
90 45BED ADC ACD∴∠ = ∠ = ° ∠ = °,,
,
,
,
平分 ,
,
故答案为 ;
(2) ,理由:
如图,延长 交 于 ,
,
,
,
,
,
,
90 45ACB ECB∠ = ° ∴∠ = ° ,
45EBC BED ECB ECB∴∠ = ∠ ∠ = ° = ∠﹣
CE BE AF CE∴ = ∴ =,
DA DC DF DE= ∴ = ,
DM EF DM∴ ⊥ , 45ADC MDE∠ ∴∠ = °,
MD ME∴ =
MD ME=
3MD ME=
EM AD F
/ /BE DA FAM EBM∴∠ = ∠ ,
AM BM AMF BME= ∠ = ∠ ,
AMF BME AF BE MF ME∴∆ ∆ ∴ = =≌ , ,
60DA DC ADC= ∠ = ° ,
60 60BED ADC ACD∴∠ = ∠ = ° ∠ = °,
90 30ACB ECB∠ = ° ∴∠ = ° ,
30EBC BED ECB ECB∴∠ = ∠ ∠ = ° = ∠﹣,
,
平分 ,
,
在 中, ,
.
(3)如图,延长 交 于 ,
,
,
,
,
延长 交 于点 ,
,
,
,
,
平分 ,
CE BE AF CE∴ = ∴ =,
DA DC DF DE= ∴ = ,
DM EF DM∴ ⊥ , ADC∠
30MDE∴∠ = °
Rt MDE∆ 3
3
MEtan MDE MD
∠ = =
3MD ME∴ =
EM AD F
/ /BE DA FAM EBM∴∠ = ∠ ,
AM BM AMF BME= ∠ = ∠ ,
AMF BME∴∆ ∆≌
AF BE MF ME∴ = =,
BE AC ,N BNC DAC∴∠ = ∠
DA DC DCA DAC= ∴∠ = ∠ ,
BNC DCA∴∠ = ∠
90ACB ECB EBC∠ = ° ∴∠ = ∠ ,
CE BE AF CE DF DE∴ = ∴ = ∴ =, ,
DM EF DM∴ ⊥ , ADC∠,
在 中, .
24.(本小题满分 12 分)如图,已知抛物线经 y=ax2+bx﹣3 过 A(1,0)、B(3,0)、C 三点.
(1)求抛物线解析式;
(2)如图 1,点 P 是 BC 上方抛物线上一点,作 PQ∥y 轴交 BC 于 Q 点.请问是否存在点 P 使得△BPQ 为等
腰三角形?若存在,请直接写出 P 点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图 2,连接 AC,点 D 是线段 AB 上一点,作 DE∥BC 交 AC 于 E 点,连接 BE.若△BDE∽△CEB,求 D
点坐标.
【解析】(1)将 代入 得: ,
解得 ,
抛物线解析式 ;
(2)存在点 P 使得△BPQ 为等腰三角形,
∵B(3,0),C(0,﹣3),
∴设直线 BC 的解析式为 ,
2ADC MDE
αα∠ = ∴∠ = ,
Rt MDE∆ tan tan 2
ME MDEMD
α= ∠ =
1,0 3,0A B( )、( ) 2 3y ax bx= + ﹣
3 0
9 3 3 0
a b
a b
+ − =
+ − =
1
4
a
b
= −
=
2 4 3y x x= − + −
y kx b+=∴ ,
解得: ,
∴直线 BC 的解析式为 ,
设 ,则 ,可分三种情况考虑:
①当 时,由题意得 P、Q 关于 x 轴对称,
∴ ,
解得: (舍去),
∴ ,
②当 时, ,
∴ , (舍去), ,
∴ ,
③当 时,有 ,
整理得: ,
解得 .
∴ .
综合以上可得 P 点坐标为 P1(1,0),P2(2,1), ;
(3)∵△BDE∽△CEB,
∴∠ABE=∠ACB,
3
3 0
b
k b
= −
+ =
1 3k b= = −,
3y x= ﹣
2, 4 3P a a a− + −( ) 3Q a a −( , )
PB BQ=
2 4 3 3 0a a a− + − + − =
2 3a a= =,
2,1P( )
PQ BQ= 2 2 2( 3 2 3a a a− + −)=( )
2a = 2a = − 3( )a = 舍去
( 2,4 2 5)P −
PQ PB= 2 2 2 2 2( 3 3 4 3a a a a a− + + +)=( ﹣) ( ﹣ )
2 21 1a a= +( ﹣)
1a=
1 0P(,)
3P ( 2,4 2 5)−∵∠BAE=∠CAB,
∴△ABE∽△ACB,
又∵ ,
∴
∴
∴
∵ ,
∴
∴
∴
∴ .
2 21 3 10AC = + =
AE AB
AB AC
=
2
2 10
AE =
2 10
5AE =
0DE BC D m ,设 ( ,)
AE AD
AC AB
=
2 5
15
210
m −=
9
5m =
9( ,0)5D