第 1 章 二次根式
1.1 二次根式
【教学目标】
知识与技能
1．理解二次根式的概念。
2．使学生掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值范围。
过程与方法
1．经历探究二次根式意义的过程，并能观察思考得出二次根式的特点。
2．通过探究，进一步发展观察、归纳、概括等能力。
3．培养与提高灵活运用知识的能力、准确计算能力以及语言表达能力。
情感态度与价值观
1．通过探究二次根式，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
2．通过探究,鼓励学生敢于发表自己的观点，尊重与理解他人的见解，从交流中获益。
3．通过对二次根式特点的归纳，提高学生的逻辑思维能力。
教学重难点
重点：二次根式的概念和二次根式有意义的条件。
难点：确定较复杂的二次根式中字母的取值范围。
【教学过程】
知识回顾
求一求：（1）3 的平方根是_____；
（2）3 的算术平方根是_____；
（3） 有意义吗？为什么？ 呢？
归纳：①一个正数有____个平方根，负数_____________；
②一个非负数 a 的算术平方根可以表示为 。
情景导入
根据图 1.1-1 的直角三角形、正方形和圆的条件，完成以下填空：
S
-5 0
2 cm
a cm
图 1.1-1
s cm2（b-3）cm2直角三角形的斜边长是_____；正方形的边长是______；圆的半径是________。
学生写出表示算术平方根的式子。问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？
学生通过观察，感知二次根式的特征，从而引出课题。
探究新知
1.二次根式的概念
引导学生概括二次根式的概念：像 这样表示算术平方根的代
数式叫做二次根式。
2.深化二次根式的概念：
① 提问： ， 是不是二次根式？ 呢？
② 议一议：二次根式 表示什么意义？此算术平方根的被开方数是什么？被开
方数必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中字母 a 需满足什么条件？为什么？
经学生讨论后，让学生回答，并让其他学生点评。
③ 教师总结：强调二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于 0。
④ 巩固练习一： 下列式子，哪些是二次根式？
3.讲解例题
例 1 求下列二次根式中字母 a 的取值范围：
（1） ； （2） ； （3） .
教师提问，学生回答，教师板书解题过程。
① 被开方数需满足什么?
② 由此可得怎样的不等式？
例 2 求下列代数式中字母 x 的取值范围：
可以转化为解怎样的不等式？
交流归纳，总结：二次根式中字母的取值范围的基本依据是——被开方数不小于 0，当
分母中有字母时，要保证分母不为 0。
巩固练习二： 求下列二次根式中字母 x 的取值范围。
9− 1a + 1a +
1a +
1+a a43 − x−
π
sba ,3,42 −+
1,21
1,1),()3(,1,14,3,5 222 −−−+−+− xaxyxxyaax ，为同号
;21
1)1( x− ;32
2)2( x−
−
.2
1)3( x
x
−
−
22 )1(,21,3,1,4,1 −−−−− xxxxxx例 3 当 x=4 时，求二次根式 的值。
教法：（1）引导学生回顾代数式的值的概念和如何求代数式的值。
（2）指出二次根式也是一种代数式，求二次根式的值与求其他代数式的值的方法相同.
巩固练习三：当 x 分别取下列值时，求二次根式 的值。
x=0 ； x=1 ； x=-1。
例 4 一艘轮船先向东北方向航行 2 小时，再向西北方向航行 t 小时，船的航速是
25 千米/时。
（1）用关于 t 的代数式表示船离出发地的距离。
（2）求当 t=3 时，船离出发地多少千米？ （精确到 0.01 千米）
教法：引导学生画图，让学生注重数形结合思想。
知识梳理
由学生总结，谈一谈：本节课你有什么收获或困惑？教师适当提问并补充。
一个概念:二次根式 。
两类题型:1.求代数式所含字母的取值范围。
2.求二次根式的值。
三点注意:1.二次根式的双重非负性 。
2.分母不能为 0。
3.转化思想。
1 2x−
x24 −
)0( ≥aa
0,0 ≥≥ aa
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