2.2 一元二次方程的解法
教学目标
会利用因式分解法、开平方法、配方法、公式法解一元二次方程；能利用一元二次方程
根的判别式判断一元二次方程根的情况．
重难点
重点：四种一元二次方程的解法和一元二次方程根的判别式的意义.
难点：用因式分解法和配方法解一元二次方程．
教学过程
一、探究新知
上节课我们学习了一元二次方程的有关概念，同学们还记得吗？谁能说一说？
教师：我们知道“能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或
根）”，那么我们怎么求一元二次方程的解呢？
学生思考，教师引入新课.
二、例题导学
1.因式分解法
例1 解下列方程:
(1)x2-3x=0. (2)25x2=16.
解：（1）将原方程的左边分解因式，得x（x-3）=0，则x=0，或x-3=0，解得x1=0，x2=3
.
（2）移项，得25x2-16=0.将方程的左边分解因式，得（5x-4）（5x+4）=0，则5x-4=0，
或5x+4=0，解得x1= ，x2= .
像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.这种方法把解一个
一元二次方程转化为解两个一元一次方程.
例2 解下列一元二次方程：
(1)(x-5)(3x-2)=10.
(2)(3x-4)2=(4x-3)2.
学生独立完成，教师巡视、指导.
2.开平方法
一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可得x1= ，x2=- .这
种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
例3 用开平方法解下列方程：
(1)3x2-48=0. (2)(2x-3)2=7.
解：（1）移项，得3x2=48.方程的两边同除以3，得x2=16.解得x1=4，x2=-4.
5
4
5
4−
a a（2）由原方程，得2x-3= ，或2x-3=- ，解得x1= ，x2= .
3.配方法
将一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开平方法求
解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
例4 用配方法解下列一元二次方程：
(1) x2+6x=1. (2)x2+5x-6=0.
解：（1）方程的两边同加上9，得x2+6x+9=1+9，即（x+3）2=10.则x+3= ，或x+3=-
，解得x1=-3+ ，x2=-3- .
（2）移项，得x2+5x=6.方程的两边同加上 ，得x2+5x+ =6+ ，即
.
则 ，或 ，解得x1=1，x2=-6.
4.公式法
(1)ax2－7x+3 =0. (2)ax2+bx+3=0.
(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤
求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问 题 ： 已 知 ax2+bx+c=0(a ≠ 0) ， 试 推 导 它 的 两 个 根 x1= ， x2=
(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)
解：移项，得ax2+bx=-c.
二次项系数化为1，得x2+ x=- .
配方，得x2+ x+( )2=- +( )2，
即(x+ )2= .
∵4a2>0，当b2-4ac≥0时， ≥0,
∴(x+ )2=( )2，
直接开平方，得x+ =± ，即x= ，
7 7 2
73+
2
73−
10
10 10 10
2)2
5( 2)2
5( 2)2
5( 4
49)2
5( 2 =+x
2
7
2
5 =+x 2
7
2
5 −=+x
2 4
2
b b ac
a
− + −
2 4
2
b b ac
a
− − −
b
a
c
a
b
a 2
b
a
c
a 2
b
a
2
b
a
2
2
4
4
b ac
a
−
2
2
4
4
b ac
a
−
2
b
a
2 4
2
b ac
a
−
2
b
a
2 4
2
b ac
a
− 2 4
2
b b ac
a
− ± −∴x1= ，x2= .
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a，
b，c代入式子x= 就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过
的六种运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性)
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
例5 用公式法解下列一元二次方程：
(1)2x2-5x+3=0； (2)4x2+1=-4x； (3） x2-2x- =0.
解 ： （ 1 ） 对 方 程 2x2-5x+3=0 ， a=2,b=-5,c=3,b2-4ac= （ -5 ） 2-4×2×3=1 ， ∴ x=
，∴x1= ，x2= .
（ 2 ） 移 项 ， 得 4x2+4x+1=0 ， 则 a=4,b=4,c=1,b2-4ac=42-4×4×1=0 ， ∴
，
∴ .
（3）方程的两边同乘4，得3x2-8x-2=0.则a=3,b=-8,c=-2,b2-4ac=（-8）2-4×3×（-2）
=88，∴ ，∴ ， .
从一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导过程中不难看出，方程的根的
情况由代数式b2-4ac的值来决定.因此b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，它的值
与一元二次方程的根的关系是：
b2-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；
b2-4ac=0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
b2-4ac＜0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
2 4
2
b b ac
a
− + − 2 4
2
b b ac
a
− − −
2 4
2
b b ac
a
− ± −
3
4
1
2
4
15
22
1)5( ±=×
±−−
2
3
4
15 =+
14
15 =−
2
1
42
04 −=×
±−=x
2
1
21 −== xx
3
224
32
888 ±=×
±=x 3
224
1
+=x 3
224
2
−=x
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