29.4 切线长定理
学习目标
1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．
2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．
3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．
教学过程
一、情境导入
新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建
筑方案．
二、合作探究
探究点一：切线长定理
【类型一】利用切线长定理求三角形的周长
例 1 如图，PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B，⊙O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点 E、F，
切点 C 在AB︵
上．若 PA 长为 2，则△PEF 的周长是________．
解析：因为 PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B，所以 PA＝PB，因为⊙O 的切线 EF 分别交
PA、PB 于点 E、F，切点为 C，所以 EA＝EC，CF＝BF，所以△PEF 的周长 PE＋EF＋PF＝PE＋EC
＋CF＋PF＝(PE＋EC)＋(CF＋PF)＝PA＋PB＝2＋2＝4.
【类型二】利用切线长定理求角的大小
例 2 如图，PA、PB 是⊙O 的切线，切点分别为 A、B，点 C 在⊙O 上，如果∠ACB＝70°，
那么∠OPA 的度数是________度．
解析：如图，连接 OA、OB.∵PA、PB 是⊙O 的切线，切点分别为 A、B，∴OA⊥PA，OB⊥
PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝
1
2∠APB＝20°.
故答案为 20.
方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据
全等的判定，可得到 PO 平分∠APB.
【类型三】切线长定理的实际应用
例 3 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，
用一个锐角为 30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得
铁环的半径．若测得 PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．
解：过 O 作 OQ⊥AB 于 Q，设铁环的圆心为 O，连接 OP、OA.∵AP、AQ 为⊙O 的切线，
∴AO 为∠PAQ 的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴
∠PAO＝∠QAO＝60°.在 Rt△OPA 中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝5 5(cm)，即铁环的半
径为 5 5 cm.
探究点二：三角形的内切圆
【类型一】求三角形的内切圆的半径
例 4 如图，⊙O 是边长为 2 的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为________．
解析：如图，连接 OD.由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以
∠OCD＝30°，OD⊥BC，所以 CD＝
1
2BC，OC＝2OD.又由 BC＝2，则 CD＝1.在 Rt△OCD 中，根
据勾股定理得 OD2＋CD2＝OC2，所以 OD2＋12＝(2OD)2，所以 OD＝
3
3 .即⊙O 的半径为
3
3 .
方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边
的距离相等．
【类型二】求三角形的周长
例 5 如图，Rt△ABC 的内切圆⊙O 与两直角边 AB，BC 分别相切于点 D、E，过劣弧DE︵
(不
包括端点 D、E)上任一点 P 作⊙O 的切线 MN 与 AB、BC 分别交于点 M、N.若⊙O 的半径为 r，
则 Rt△MBN 的周长为( )A．r B.
3
2r C．2r D.
5
2r
解析：连接 OD，OE，∵⊙O 是 Rt△ABC 的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC.又∵MD，MP 都是
⊙O 的切线，且 D、P 是切点，∴MD＝MP，同理可得 NP＝NE，∴CRt△MBN＝MB＋BN＋NM＝MB＋BN
＋NP＋PM＝MB＋MD＋BN＋NE＝BD＋BE＝2r，故选 C.
三、板书设计
教学反思
教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心
是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.
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