第三十二章 投影与视图
32.1 投 影
学习目标
1．理解平行投影和中心投影的特征；(重点)
2．在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影．(难点)
教学过程
一、情境导入
北京故宫中的日晷闻名世界，是我国光辉灿烂文化的瑰宝．它是我国古代利用日影测定
时刻的仪器，它由“晷面”与“晷针”组成，当太阳光照在日晷中轴上产生投影，晷针的影
子就会投向晷面，随着时间的推移，晷针的影的长度发生变化，晷针的影子在晷面上慢慢移
动，聪明的古人以此来显示时刻．
本节课学习有关投影的知识．
二、合作探究
探究点一：平行投影
【类型一】 判断影子的形状
例 1 下列图形，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是( )
解析：选项 A.影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，正确；选项 B.
影子的方向不相同，错误；选项 C.影子的方向不相同，错误；选项 D.不同树高与影子是成
正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，错误．故选 A.
方法总结：平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影
长成比例．
【类型二】 平行投影作图
例 2 在某一时刻，操场上有三根测杆，如图所示，其中测杆 AB 的影子为 BC，你能画出
测杆 MN 的影子 NP 吗？若测杆 XY 的影子的顶端恰好落在点 B 处，且 XY＝MN，你能找出 XY
所在的位置吗？请将上述问题画在下面的示意图中，并简述画法．分析：过物体顶点作光线的平行线得到物体的平行投影，再根据平行投影中物体与投影
面平行时的投影是全等的可找到 XY 的位置．
解：连接 AC，过点 M 作 MP∥AC 交 NC 于点 P，则 NP 为 MN 的影子．过点 B 作 BX∥AC，
且 BX＝MP，过 X 作 XY⊥NC 交 NC 于点 Y，则 XY 即为所求．
方法总结：先根据物体投影确定光线，然后利用两个物体的顶端和各自影子的对应点的
连线是一组平行线，过物体顶端作平行线与地面相交，从而确定影子．
【类型三】 平行投影的相关计算
例 3 李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的
影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量方法如下：如示意图，李航边移动
边观察，发现站到点 E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且
高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度 CD＝1.2m，CE＝0.6 m，CA＝30 m(点
A、E、C 在同一直线上)．已知李航的身高 EF 是 1.6m，请你帮李航求出楼高 AB.
分析：过点 D 作 DN⊥AB，可得四边形 CDME、ACDN 是矩形，即可证明△DFM∽△DBN，从
而得出 BN，进而求得 AB 的长．
解：过点 D 作 DN⊥AB，垂足为 N，交 EF 于 M 点，∴四边形 CDME、ACDN 是矩形，∴AN＝
ME＝CD＝1.2 m，DN＝AC＝30 m，DM＝CE＝0.6 m，∴MF＝EF－ME＝1.6－1.2＝0.4 m.∵EF∥
AB，∴△DFM∽△DBN，
DM
DN＝
MF
BN，即
0.6
30 ＝
0.4
BN ，∴BN＝20 m，∴AB＝BN＋AN＝20＋1.2＝21.2
m.
答：楼高为 21.2 m.方法总结：在同一时刻的物体高度与影长的关系：
物体高度
物体影长＝
另一物体的高度
另一物体的影长.
探究点二：中心投影
【类型一】 判断是否是中心投影
例 4 下面属于中心投影的是( )
A．太阳光下的树影 B．皮影戏
C．月光下房屋的影子 D．海上日出
解析：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光．在各选项中只有 B 选项
得到的投影为中心投影．故选 B.
方法总结：判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一
点，那么所得到的投影就是中心投影．
【类型二】 判断影长的情况
例 5 晚上小亮在路灯下散步，在小亮从远处走到灯下，再远离路灯这一过程中，他在地
上的影子( )
A．逐渐变短 B．先变短后变长
C．先变长后变短 D．逐渐变长
解析：晚上小亮在路灯下散步，当小亮从远处走到灯下的时候，他在地上的影子由长变
短，当他再远离路灯的时候，他在地上的影子由短变长．故选 B.
方法总结：中心投影的光线特点是从一点出发的投 射线．物体与投影面平行时的投影
是放大(即位似变换)的关系．
【类型三】 中心投影作图
例 6 如图是小明与爸爸(线段 AB)、爷爷(线段 CD)在同一路灯下的情景，粗线分别表示
三人的影子．请根据要求，进行作图(不写画法，但要保留作图痕迹)．
(1)画出图中灯泡所在的位置；
(2)在图中画出小明的身高．
分析：(1)利用中心投影的图形的性质连接对应点得出灯泡位置即可；(2)根据灯泡位置
即可得出小明的身高．
解：(1)如图所示：O 即为灯泡的位置；
(2)如图所示：EF 即为小明的身高．方法总结：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．
【类型四】 中心投影的相关计算
例 7 如图，王华晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处时，测得影子 CD 的长为 1m，继续往前
走 3 m 到达 E 处时，测得影子 EF 的长为 2 m，已知王华的身高是 1.5 m，求路灯 A 的高度
AB.
分析：根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体
顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
解：当王华在 CG 处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即
CD
BD＝
CG
AB；当王华在 EH 处时，Rt△FEH∽Rt
△FBA，即
EF
BF＝
EH
AB＝
CG
AB，∴
CD
BD＝
EF
BF.∵CG＝EH＝1.5 m，CD＝1 m，CE＝3 m，EF＝2 m，设 AB＝
x，BC＝y，∴
1
y＋1＝
2
y＋5，解得 y＝3，经检验 y＝3 是原方程的根．∵
CD
BD＝
CG
AB，即
1.5
x ＝
1
4，
解得 x＝6.即路灯 A 的高度 AB＝6 m.
方法总结：解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，
利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．
三、板书设计
1．平行投影的定义及应用；
2．中心投影的定义及应用．
教学反思
本节以自主探索、合作交流为设计主线，从皮影戏、手影、日晷等学生熟悉的生活实际
出发，引入物体投影的相关概念，通过观察图片等活动，使学生认识中心投影和平行投影的
区别与联系，加强主动学习数学的兴趣，体现数学的应用价值.
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