第二十九章 直线与圆的位置关系
29.1 点与圆的位置关系
学习目标
1．能从点和圆的位置关系，判断点和圆心的距离与半径的大小关系．
2．学会用已知点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点与圆的位置关系．
3．认识三角形的外接圆，三角形的外心的概念，会画三角形的外接圆．
教学过程
一、情境导入
同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多圆组成的，射击的成绩是由击中
靶子不同位置所决定的；如图是一位运动员射击 6 发子弹在靶上留下的痕迹．你知道这个运
动员的成绩吗？请同学们算一算．(击中最里面的圆的成绩为 10 环，依次为 9、8、…、1 环)
二、合作探究
探究点一：点和圆的位置关系
【类型一】判断点和圆的位置关系
例 1 如图，已知矩形 ABCD 的边 AB＝3 cm，AD＝4 cm.
(1)以点 A 为圆心，4cm 为半径作⊙A，则点 B，C，D 与⊙A 的位置关系如何？
(2)若以点 A 为圆心作⊙A，使 B，C，D 三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，
则⊙A 的半径 r 的取值范围是什么？
解：(1)∵AB＝3 cm＜4 cm，∴点 B 在⊙A 内；∵AD＝4 cm，∴点 D 在⊙A 上；∵AC＝ 32＋42
＝5 cm＞4 cm，∴点 C 在⊙A 外．
(2)由题意得，点 B 一定在圆内，点 C 一定在圆外．∴3 cm＜r＜5 cm.
【类型二】点和圆的位置关系的应用例 2 如图，点 O 处有一灯塔，警示⊙O 内部为危险区，一渔船误入危险区点 P 处，该渔
船应该按什么方向航行才能尽快离开危险区？试说明理由．
解：渔船应沿着灯塔 O 过点 P 的射线 OP 方向航行才能尽快离开危险区．理由如下：设
射线 OP 交⊙O 与点 A，过点 P 任意作一条弦 CD，连接 OD，在△ODP 中，OD－OP＜PD，又∵OD
＝OA，∴OA－OP＜PD，∴PA＜PD，即渔船沿射线 OP 方向航行才能尽快离开危险区．
探究点二：确定圆的条件
【类型一】经过不在同一直线上的三个点作一个圆
例 3 已知：不在同一直线上的三个已知点 A，B，C(如图)，求作：⊙O，使它经过点 A，
B，C.
分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出边 AB、BC 的垂直平
分线相交于点 O，以 O 为圆心，以 OA 为半径，作出圆即可．
解：(1)连接 AB、BC；
(2)分别作出线段 AB、BC 的垂直平分线 DE、GF，两垂直平分线相交于点 O，则点 O 就是
所求作的⊙O 的圆心；
(3)以点 O 为圆心，OC 长为半径作圆．则⊙O 就是所求作的圆．
方法总结：线段垂直平分线的作法，需熟练掌握．
探究点三：三角形的外接圆
【类型一】与圆的内接三角形有关的角的计算
例 4 如图，△ABC 内接于⊙O，∠OAB＝20°，则∠C 的度数是________．
解析：由 OA＝OB，知∠OAB＝∠OBA＝20°，所以∠AOB＝140°，根据圆周角定理，得∠C
＝
1
2∠AOB＝70°.
方法总结：在圆中求圆周角的度数，可以根据圆周角定理找相等的角实现互换，也可以
寻找同弧所对的圆周角与圆心角的关系．【类型二】与圆的内接三角形有关线段的计算
例 5 如图，在△ABC 中，O 是它的外心，BC＝24 cm，O 到 BC 的距离是 5 cm，求△ABC 的
外接圆的半径．
解：连接 OB，过点 O 作 OD⊥BC，则 OD＝5cm，BD＝
1
2BC＝12cm.在 Rt△ OBD 中，OB＝
OD2＋BD2＝ 52＋122＝13 cm.即△ABC 的外接圆的半径为 13 cm.
方法总结：由外心的定义可知外接圆的半径等于 OB，过点 O 作 OD⊥BC，易得 BD＝12
cm.由此可求它的外接圆的半径．
三、板书设计
教学反思
教学过程中，强调三角形的外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相离，它是三角形三边垂
直平分线的交点．在圆中充分利用这一点可解决相关的计算问题.
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