30.5 二次函数与一元二次方程的关系
学习目标
1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二
次方程的近似解；(重点)
2．通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用．(难点)
教学过程
一、情境导入
小唐画 y＝x2－6x＋c 的图象时，发现其顶点在 x 轴上，请你帮小唐确定字母 c 的值是
多少？
二、合作探究
探究点一：判断二次函数图象与 x 轴交点个数
【类型一】 二次函数图象与 x 轴交点情况判断
例 1 下列函数的图象与 x 轴只有一个交点的是( )
A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1
解析：选项 A 中 b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项 B 中 b2－4ac＝22－4×1×3＝
－8＜0，选项 C 中 b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项 D 中 b2－4ac＝(－2)2－4×1×
1＝0，所以选项 D 的函数图象与 x 轴只有一个交点．故选 D.
【类型二】 利用二次函数图象与 x 轴交点坐标确定抛物线的对称轴
例 2 如图，对称轴平行于 y 轴的抛物线与 x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴
为________．
解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，∴其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是
x＝2.
方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．
【类型三】 利用抛物线与 x 轴交点情况确定字母取值(范围)
例 3 若函数 y＝mx2＋(m＋2)x＋
1
2m＋1 的图象与 x 轴只有一个交点，那么 m 的值为( )
A． 0 B．0 或 2 C．2 或－2 D．0，2 或－2
解析：若 m≠0，根据二次函数与 x 轴只有一个交点，利用一元二次方程根的判别式为
零来求解；若 m＝0，原函数是一次函数，图象与 x 轴有一个交点．当 m≠0 时，Δ＝(m＋2)2－4m(
1
2m＋1)＝0，解得 m＝2 或－2；当 m＝0 时，原函数是一次函数，图象与 x 轴只有一个
交点，所以当 m＝0，2 或－2 时，图象与 x 轴只有一个交点．故选 D.
方法总结：二次函数 y＝ax2＋bx＋c，当 b2－4ac＞0 时，图象与 x 轴有两个交点，当 b2
－4ac＝0 时，图象与 x 轴有一个交点，当 b2－4ac＜0 时，图象与 x 轴没有交点．
探究点二：二次函数图象与 x 轴的交点坐标与一元二次方程根的关系
例 4 已知二次函数 y＝－x2＋2x＋m 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程－
x2＋2x＋m＝0 的解为________．
解析：因为抛物线经过点(3，0)，所以 x＝3，y＝0 是该函数的一组对应值．将 x＝3，
y＝0 代入函数表达式，得 0＝－32＋2×3＋m，解得 m＝3.所以一元二次方程为－x2＋2x＋3＝
0，解得 x1＝－1，x2＝3.
方法总结：本题先求出 m 的值，从而写出一元二次方程，然后解这个一元二次方程得出
其解．也可以由图象得抛物线的对称轴为直线 x＝1，抛物线与 x 轴的一个交点为(3，0)．根
据抛物线的对称性知抛物线与 x 轴的另一个交点为(－1，0)，则(3，0)和(－1，0)两点的横
坐标就是所求方程的根，即 x1＝－1，x2＝3.
探究点三：利用二次函数求一元二次方程的近似解
例 5 利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8 的实数根(精确到 0.1)．
分析：对于 y＝－x2＋2x－3，当函数值为－8 时，对应点的横坐标即为一元二次方程－
x2＋2x－3＝－8 的实数根，故可通过作出函数图象来求方程的实数根．
解：在平面直角坐标系内作出函数 y＝－x2＋2x－3 的图象，如图．由图象可知方程－x2
＋2x－3＝－8 的根是抛物线 y＝－x2＋2x－3 与直线 y＝－8 的交点的横坐标，左边的交点
横坐标在－1 与－2 之间，另一个交点的横坐标在 3 与 4 之间．
(1)先求在－2 和－1 之间的根，利用计算器进行探索：
x －1.1 －1.2 －1.3 －1.4 －1.5y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25
因此 x≈－1.4 是方程的一个实数根；
(2)另一个根可以类似地求出：
x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25
x≈3.4 是方程的另一个实数根．
方法总结：用二次函数的图象求一元二次方程满足精确度的实数根的方法：(1)作出函
数的图象，并由图象确定方程解的个数；(2)由图象与y＝h 的交点的位置确定交点横坐标的
取值范围；(3)利用计算器求方程的实数根．
三、板书设计
二次函数
与一元二
次方程 {1.与x轴交点的情况判断
2.确定一元二次方程的解和解的
情况、确定对称轴和字母系数
的取值范围
教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与 x 轴的交点个数，讨
论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系．
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