29.5 正多边形与圆
学习目标
1．了解正多边形与圆的有关概念；
2．理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会运用正多边形和
圆的有关知识画正多边形．(重点)
教学过程
一、情境导入
生日宴会上，佳乐等 6 位同学一起过生日，他想把如图所示蛋糕平均分成 6 份，你能帮
他做到吗？
二、合作探究
探究点一：圆的内接正多边形的相关计算
例 1 如图，有一个圆 O 和两个正六边形 T1，T2.T1 的 6 个顶点都在圆周上，T2 的 6 条边
都和圆 O 相切．
(1)设 T1，T2 的边长分别为 a，b，圆 O 的半径为 r，求 r∶a 及 r∶b 的值；
(2)求正六边形 T1，T2 的面积比 S1∶S2 的值．解：(1)连接圆心O 和 T1 的 6 个顶点可得 6
个全等的正三角形．所以 r∶a＝1∶1.连接圆心 O 和 T2 相邻的两个顶点，得以圆 O 的半径为
高的正三角形，所以 r∶b＝ 3∶2；
(2)正六边形 T1 与 T2 的边长比是 3∶2，所以 S1∶S2＝3∶4.
方法总结：解答此题的关键是根据题意画出图形，再由三角函数的定义及特殊角的三角
函数值求解．
探究点二：与正多边形相关的计算
【类型一】 求正多边形的中心角
例 2 已知一个正多边形的每个内角均为 108°，则它的中心角为________度．
解析：每个内角为 108°，则每个外角为 72°.根据多边形的外角和等于 360°，∴正
多边形的边数为 5，则其中心角为 360°÷5＝72°.故填 72.
方法总结：本题考查了正多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每一个外角的度数求边数更简便．
【类型二】 求正多边形的边长和面积
例 3 已知正六边形 ABCDEF 的外接圆半径是 R，求正六边形的边长 a 和面积 S.
解：连接 OA、OB，过 O 作 OH⊥AB，则∠AOH＝
180°
6 ＝30°，∴AH＝
1
2R，∴a＝2AH＝R.
由勾股定理可得 OH2＝R2－(
1
2R)2，∴OH＝
3
2 R，∴S＝
1
2·a·OH×6＝
1
2·R·
3
2 R·6＝
3 3
2 R2.
方法总结：本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于
半径．
三、板书设计
教学反思
教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关于正多
边形的问题.
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