29.3 切线的性质和判定
学习目标
1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明(重点)；
2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明(重点，难
点)；
3．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题．
教学过程
一、情境导入
约在 6000 年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆形的木盘，你能设计
一个办法测量这个圆形物体的半径吗？
二、合作探究
探究点一：切线的性质
【类型一】 切线的性质的运用
例 1 如图，点 O 是∠BAC 的边 AC 上的一点，⊙O 与边 AB 相切于点 D，与线段 AO 相交于
点 E，若点 P 是⊙O 上一点，且∠EPD＝35°，则∠BAC 的度数为( )
A．20° B．35° C．55° D．70°
解析：连接 OD，∵⊙O 与边 AB 相切于点 D，∴OD⊥AD，∴∠ADO＝90°.∵∠EPD＝35
°，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°，∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°.故选 A.
方法总结：此题考查了切线的性质以及圆周角定理．解题时要注意运用切线的性质，注
意掌握辅助线的作法，灵活运用数形结合思想．
【类型二】 利用切线的性质进行证明和计算
例 2 如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点．直线 PO 与⊙O 交于 B、C 两点，∠P＝30°，连接 AO、AB、AC.
(1)求证：△ACB≌△APO.
(2)若 AP＝ 3，求⊙O 的半径．
(1)证明：∵PA 为⊙O 的切线，A 为切点，∴∠OAP＝90°.又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60
°，又 OA＝OB，∴△AOB 为等边三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°.又∵BC 为⊙O 的直径，∴∠
BAC＝90°.在△ACB 和△APO 中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO；
(2)解：在 Rt△AOP 中，∠P＝30°，AP＝ 3，∴AO＝1，即⊙O 的半径为 1.
方法总结：运用切线进行证明和计算时，一般连接切点与圆心，根据切线的性质转化已
知条件，构造出等量关系求解．
【类型三】 探究圆的切线的条件
例 3 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB＝AC＝10，BC＝12，P 是BC︵
上的一个动点，过点 P
作 BC 的平行线交 AB 的延长线于点 D.
(1)当点 P 在什么位置时，DP 是⊙O 的切线？请说明理由；
(2)当 DP 为⊙O 的切线时，求线段 BP 的长．
解析：(1)当点 P 是BC︵
的中点时，得PBA︵
＝PCA︵
，得出 PA 是⊙O 的直径，再利用 DP∥BC，
得出 DP⊥PA，问题得证；(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出 AB 的长，
在 Rt△ABP 中再次利用勾股定理即可求出 BP 的长．
解：(1)当点P 是BC︵
的中点时，DP 是⊙O 的切线．理由如下：∵AB＝AC，∴AB︵
＝AC︵
，又∵
PB︵
＝PC︵
，∴PBA︵
＝PCA︵
，∴PA 是⊙O 的直径．∵PB︵
＝PC︵
，∴∠1＝∠2，又∵AB＝AC，∴PA⊥
BC.又∵DP∥BC，∴DP⊥PA，∴DP 是⊙O 的切线．
(2)连接 OB，设 PA 交 BC 于点 E.由垂径定理，得 BE＝
1
2BC＝6.在 Rt△ABE 中，由勾股定
理，得 AE＝ AB2－BE2＝8.设⊙O 的半径为 r，则 OE＝8－r，在 Rt△OBE 中，由勾股定理，
得 r2＝62＋(8－r)2，解得 r＝
25
4 .在 Rt△ABP 中，AP＝2r＝
25
2 ，AB＝10，∴BP＝ （
25
2 ）2－102
＝
15
2 .
方法总结：判定直线是否为圆的切线时要从切线的性质入手，结合垂径定理与勾股定理，
合理转化已知条件，得出结论．探究点二：切线的判定
【类型一】 判定圆的切线
例 4 如图，点 D 在⊙O 的直径 AB 的延长线上，点 C 在⊙O 上，AC＝CD，∠D＝30°，求
证：CD 是⊙O 的切线．
证明：连接 OC，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30
°，∴∠1＝60°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD 是⊙O 的切线．
方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线
是圆的切线；②到圆心距离等于半径长的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于
这条半径的直线是圆的切线．
【类型二】 切线的性质与判定的综合应用
例 5 如图，AB 是⊙O 的直径，点 F、C 是⊙O 上的两点，且AF︵
＝FC︵
＝CB︵
，连接 AC、AF，
过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于点 D，垂足为 D.
(1)求证：CD 是⊙O 的切线；
(2)若 CD＝2 3，求⊙O 的半径．
分析：(1)连接 OC，由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得∠ACD＝
∠B，再根据等量代换得到∠ACO＋∠ACD＝90°，从而证明 CD 是⊙O 的切线；(2)由AF︵
＝FC︵
＝
CB︵
推得∠DAC＝∠BAC＝30°，再 根据直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半即
可求得 AB 的长，进而求得⊙O 的半径．
(1)证明：连接 OC，BC.∵FC︵
＝CB︵
，∴∠DAC＝∠BAC.∵CD⊥AF，∴∠ADC＝90°.∵AB 是
直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵BO＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∠
OCB＝∠OBC，∠ACD＝∠ABC，∴∠ACO＋∠ACD＝90°，即 OC⊥CD.又∵OC 是⊙O 的半径，∴
CD 是⊙O 的切线；
(2)解：∵AF︵
＝FC︵
＝CB︵
，∴∠DAC＝∠BAC＝30°.∵CD⊥AF，CD＝2 3，∴AC＝4 3.在
Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，AC＝4 3，∴BC＝4，AB＝8，∴⊙O 的半径为 4.方法总结：若证明切线时有交点，需“连半径，证垂直”然后利用切线的性质构造直角
三角形，在解直角三角形时常运用勾股定理求边长．
三、板书设计
1．切线的性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．
2．切线的判定
经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
教学反思
教学过程中，经历切线性质的探究，从中可得出判定切线的条件，整个学习过程是一个
逐层深入的过程．因此教师应当对学生在探究过程中遇到的问题及时进行解决，使学生能更
全面的掌握知识.
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