第三十章 二次函数
30.1 二次函数
学习目标
1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式；(重点)
2．会利用二次函数的概念解决问题；(重点)
3．列二次函数表达式解决实际问题．(难点)
教学过程
一、情境导入
已知长方形窗户的周长为 6 m，窗户面积为 y m2，窗户宽为 x m，你能写出 y 与 x 之间
的函数关系式吗？它是什么函数呢？
二、合作探究
探究点一：二次函数的概念
【类型一】 二次函数的识别
例 1 下列函数中是二次函数的有( )
①y＝x＋
1
x；②y＝3(x－1)2＋2；③y＝(x＋3)2－2x2；④y＝
1
x2＋x.
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
解析：①y＝x＋
1
x，④y＝
1
x2＋x 的右边不是整式，故①④不是二次函数；②y＝3(x－1)2
＋2，符合二次函数的定义；③y＝(x＋3)2－2x2＝－x2＋6x＋9，符合二次函数的定义．故选
C.
方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；
②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为 2，且函数关系
式中二次项系数不等于 0.
【类型二】 利用二次函数的概念求字母的值
例 2 当 k 为何值时，函数 y＝(k－1)xk2＋k＋1 为二次函数？
分析：根据二次函数的概念，可得 k2＋k＝2 且同时满足 k－1≠0 即可解答．
解：∵函数 y＝(k－1)xk2＋k＋1 为二次函数，∴{k2＋k＝2，
k－1 ≠ 0，解得{k＝1或－2，
k ≠ 1，
∴k＝－2.
方法总结：解答本题要考虑两方面：一是 x 的指数等于 2；二是二次项系数不等于 0.【类型三】 二次函数相关量的计算
例 3 已知二次函数 y＝－x2＋bx＋3，当 x＝2 时，y＝3.则 x＝1 时，y＝________．
解析：∵二次函数 y＝－x2＋bx＋3，当 x＝2 时，y＝3，∴3＝－22＋2b＋3，解得 b＝
2. ∴这个二次函数的表达式是 y＝－x2＋2x＋3.将 x＝1 代入得 y＝4.故答案为 4.
方法总结：解题的关键是先确定解析式，再代入求值．
【类型四】 二次函数与一次函数的关系
例 4 已知函数 y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋m＋1.
(1)若这个函数是一次函数，求 m 的值；
(2)若这个函数是二次函数，则 m 的值应怎样？
分析：根据二次函数与一次函数的定义解答．
解：(1)根据一次函数的定义，得 m2－m＝0，解得 m＝0 或 m＝1.又∵m－1≠0，即
m≠1，∴当 m＝0 时，这个函数是一次函数；
(2)根据二次函数的定义，得 m2－m≠0，解得 m≠0 或 m≠1，∴当 m≠0 或 m≠1 时，这
个函数是二次函数．
方法总结：熟记二次函数与一次函数的定义，另外要注意二次函数的二次项的系数不等
于零．
探究点二：从实际问题中抽象出二次函数解析式
【类型一】 从几何图形中抽象出二次函数解析式
例 5 如图，用一段长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园 ABCD，
设 AB 边长为 x 米，则菜园的面积 y(单位：米 2)与 x(单位：米)的函数关系式为多少？
分析：根据已知由 AB 边长为 x 米可以推出 BC＝
1
2(30－x)，然后根据矩形的面积公式即
可求出函数关系式．
解：∵AB 边长为 x 米，而菜园 ABCD 是矩形菜园，∴BC＝
1
2(30－x)，∴菜园的面积＝
AB×BC＝
1
2(30－x)·x，则菜园的面积 y 与 x 的函数关系式为 y＝－
1
2x2＋15x.
方法总结：函数与几何知识的综合问题，关键是掌握数与形的转化．有些题目是以几何
知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
【类型二】 从生活实际中抽象出二次函数解析式
例 6 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次(最低档次)的产品一天能
生产 95 件，每件利润 6 元．每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件．
(1)若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元(其中 x 为正整数，且 1≤x≤10)，求出y 关于 x 的函数关系式；
(2)若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1120 元，求该产品的质量档次．
分析：(1)每件的利润为 6＋2(x－1)，生产件数为 95－5(x－1)，则 y＝[6＋2(x－1)][95
－5(x－1)]；(2)由题意可令 y＝1120，求出 x 的实际值即可．
解：(1)∵第一档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每提高一个档次，每件利
润加 2 元，但一天产量减少 5 件，∴第 x 档次，提高的档次是(x－1)档，利润增加了 2(x－
1)元．∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，即 y＝－10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且
1≤x≤10)；
(2)由题意可得－10x2＋180x＋400＝1120，整理得 x2－18x＋72＝0，解得 x1＝6，x2＝
12(舍去)．
所以，该产品的质量档次为第 6 档．
方法总结：解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型．
三、板书设计
二次函数
1．二次函数的概念
2．从实际问题中抽象出二次函数解析式
教学反思
二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关
系和变化规律的一种非常重要的数学模型．许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研
究．本节课是学习二次函数的第一节课，通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些简单
的实际问题中二次函数的解析式．在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的学
习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，体验用函数思想去描述、研
究变量之间变化规律的意义.
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