1
勾股定理
本章总结提升
问题 1 勾股定理
直角三角形三边的长有什么特殊的关系？
例 1 已知一个直角三角形的两条边长分别为 5，13，则第三条边长为________．
【归纳总结】 当题目中已知直角三角形的两条不相等的边长，并且未表明直角边和斜
边时，一定要分类讨论，防止漏解．若题目中已知直角三角形的两条相等的边长，则这两条
边一定是直角边．2
问题 2 用拼图证明勾股定理
勾股定理的证明方法有哪些？赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？
例 2 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小
聪灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图 14－T－1①或②摆放时，都可以用
“面积法”来证明勾股定理．下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：
① ②
图 14－T－1
将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2.
证明：连结 DB，DC，过点 D 作 BC 边上的高 DF，DF＝EC＝b－a.
∵S 四边形 ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝
1
2b2＋
1
2ab，
S 四边形 ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝
1
2c2＋
1
2a(b－a)，
∴
1
2b2＋
1
2ab＝
1
2c2＋
1
2a(b－a)．
∴a2＋b2＝c2.
请参照上述证法，利用图②完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB＝90°.
求证：a2＋b2＝c2.
【归纳总结】 把图形进行“割”或“补”，这两种方法体现的是同一种思想——化归思
想．
问题 3 勾股定理的应用
勾股定理有哪些应用？运用勾股定理解决实际问题的关键是什么？3
例 3 如图 14－T－2 所示，一架 2.5 米长的梯子 AB 斜靠在一堵竖直的墙 AO 上，这时梯
脚 B 到墙底端 O 的距离为 0.7 米，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑 0.4 米，那么梯脚将外移多
少米？
图 14－T－2
问题 4 勾股定理与方程思想的综合运用
已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？你判断的依据是什么？证明
勾股定理的逆定理运用了什么方法？
例 4 如图 14－T－3，在一棵树的 10 米高 B 处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树 20
米的池塘 C，而另一只爬到树顶 D 后直扑池塘 C，结果两只猴子经过的路程相等，则这棵树
有多高？
图 14－T－3
【归纳总结】 利用勾股定理建立方程是解决此类问题的关键．
例 5 如图 14－T－4 是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高均分别为 5 dm、3 dm 和
1 dm，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，点 A 有一只蚂蚁，想到点 B 去吃可口的食物．请
你想一想，这只蚂蚁从点 A 出发，沿着台阶上表面爬到点 B 的最短路程是______dm.4
图 14－T－4
【归纳总结】 将立体图形展开为平面图形，构造直角三角形，利用勾股定理求线段的
长度．
例 6 如图 14－T－5 所示，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 B 离点 C 的距离为
5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，求这只蚂蚁要爬行的最短路程．
图 14－T－5
【归纳总结】 确定立体图形表面上两点之间的最短路程问题，解题思路是将立体图形
展开，转化为平面图形，并借助勾股定理解决．当长方体的长、宽、高不同时，不同表面上
两点之间的距离分三种情况讨论，展开方式不同，两点间的距离也可能不同．
例 7 如图 14－T－6，在四边形 ABCD 中，已知 AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝
90°，试求∠DAB 的度数．
图 14－T－65
详解详析
【整合提升】
例 1 12 或 194
例 2 证明：证法一：连结 BD，过点 B 作 DE 边上的高 BF，则 BF＝b－a.
∵S 五边形 ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△AED＝
1
2ab＋
1
2b2＋
1
2ab，
S 五边形 ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝
1
2ab＋
1
2c2＋
1
2a(b－a)，
∴
1
2ab＋
1
2b2＋
1
2ab＝
1
2ab＋
1
2c2＋
1
2a(b－a)，
∴a2＋b2＝c2.
证法二：连结 BD，过点 B 作 DE 边上的高 BF，则 BF＝b－a.
∵S 五边形 ACBED＝S 梯形 ACBE＋S△AED＝
1
2b(a＋b)＋
1
2ab，
S 五边形 ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝
1
2ab＋
1
2c2＋
1
2a(b－a)，
∴
1
2b(a＋b)＋
1
2ab＝
1
2ab＋
1
2c2＋
1
2a(b－a)．
∴a2＋b2＝c2.
例 3 [解析] 如图，AB＝CD＝2.5 米，BO＝0.7 米，由勾股定理求得 AO＝2.4 米．因此，
OC＝2.4－0.4＝2(米)．再由勾股定理求出 OD 的长度，则可求出 BD 的长度，即梯脚外移的
距离．
解：如图，在 Rt△OAB 中，6
AO＝ AB2－OB2＝ 2.52－0.72＝2.4(米)，OC＝2.4－0.4＝2(米)．
在 Rt△COD 中，
OD＝ CD2－OC2＝ 2.52－22＝1.5(米)，
∴BD＝OD－OB＝1.5－0.7＝0.8(米)．
即梯脚将外移 0.8 米．
例 4 解：设 BD＝x 米，则 AD＝(10＋x)米，CD＝(30－x)米．
根据题意，得(30－x)2－(10＋x)2＝202，解得 x＝5.
即树的高度是 10＋5＝15(米)．
例 5 [答案] 13
[解析] 将台阶上表面展开，如图，
因为 AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝5，
所以 AB2＝AC2＋BC2＝169，
所以 AB＝13dm，
所以蚂蚁爬行的最短路程为 13 dm.
例 6 [解析] 沿长方体表面从点 A 爬到点 B，考虑路线最短的问题有三种途径：(1)从
右侧面和前面走；(2)从右侧面和上底面走；(3)从后侧面和上底面走．7
解：沿长方体的表面从点 A 爬到点 B 的走法有三种：
(1)沿右侧面和前面走时，如图①所示，由勾股定理，得 AB＝ 152＋202＝ 625＝25，
即路线长 l1＝25.
(2)沿右侧面和上底面走时，如图②所示，由勾股定理，得 AB＝ （20＋5）2＋102＝
725，即路线长 l2＝ 725.
(3)沿后侧面和上底面走时，如图③所示，由勾股定理，得 AB＝ 52＋302＝ 925，即
路线长 l3＝ 925.
因为 l1＜l2＜l3，故这只蚂蚁要爬行的最短路程为 25.
例 7 解：如图，连结 AC.
在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，且 AB＝BC，
所以∠BAC＝45°.
由 AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，
设 AB＝BC＝2x，CD＝3x，DA＝x.
因为∠B＝90°，
所以 AC2＝AB2＋BC2＝8x2，
所以 AC2＋AD2＝8x2＋x2＝9x2＝CD2，
故∠DAC＝90°，
所以∠DAB＝∠BAC＋∠DAC＝135°.8
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