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自我综合评价
[测试范围：第 14 章 勾股定理 时间：40 分钟 分值：100 分]
一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1．以下列各组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形的是( )
A．2，3，4 B．4，6，5
C．14，13，12 D．7，25，24
2．用反证法证明“在同一平面内，若直线 a⊥c，b⊥c，则 a∥b”时，应假设( )
A．a⊥b B．a 与 b 相交
C．a 与 b 都不垂直于 c D．a，b 都平行于 c
3．一直角三角形的两直角边的长分别为 5 cm，12 cm，其斜边上的高为( )
A．6 cm B．8.5 cm C.
30
13 cm D.
60
13 cm
4．如图 4－Z－1，有一块直角三角形纸板 ABC，两条直角边 AC＝6 cm，BC＝8 cm.现将
直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且点 C 落到点 E 处，则 CD 的长为( )
图 4－Z－12
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
5．在△ABC 中，AB＝AC＝17，BC＝16，则△ABC 的面积为( )
A．60 B．80 C．100 D．120
6．直角三角形三边的长分别为 3，4，x，则 x 可能取的值为( )
A．5 B. 7
C．5 或 7 D．不能确定
7．图 4－Z－2①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三
角形围成的．若 AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中的边长为 6 的直角边分别向外延长一
倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图中实线部分)是( )
图 4－Z－2
A．51 B．49
C．76 D．无法确定
8．如图 4－Z－3，长方体的底面边长分别为 2 cm 和 4 cm，高为 5 cm.若一只蚂蚁从 P
点开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为( )
图 4－Z－3
A．13 cm B．12 cm
C．10 cm D．8 cm
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
9．如图 4－Z－4，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝30 cm，则△ABC 的面积为________cm2.3
图 4－Z－4
10．如图 4－Z－5，两墙面间的 P 点处有一个梯子，梯子的长度为 5 m，当梯子的上端
靠在墙面 C 点时，C 到地面的距离为 4m，当梯子的上端靠在墙面 A 点时，A 到地面的距离为
3 m，那么两墙面 AB，CD 间的距离为________m.
图 4－Z－5
11．如图 4－Z－6，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 5 和 11，
则 b 的面积为________．
图 4－Z－6
12．如图 4－Z－7①，已知正方形的边长为 1，可以计算其正方形的对角线长为 2；如
图② ，n 个这样的正方形并排成一个长方形，则其对角线的长用含 n 的式子表示为
________．
图 4－Z－7
三、解答题(本大题共 5 小题，共 48 分)
13．(8 分)王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 22－1 32－1 42－1 52－1 …
b 4 6 8 10 …4
c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 …
(1)请你观察 a，b，c 分别与 n 之间的关系，并且用含自然数 n(n＞1)的代数式表示：
a＝__________，b＝__________，c＝__________．
(2)猜想：以 a，b，c 为三边长的三角形是否为直角三角形？请说明理由．
14．(8 分)如图 4－Z－8 所示，某人到一个荒岛上去探宝，在 A 处登陆后，往东走 8 km，
又往北走 2 km，遇到障碍后又往西走 3 km，再折向北方走到 5 km 处往东一拐，仅 1 km 处就
找到了宝藏，则登陆点(A 处)到宝藏埋藏点(B 处)的直线距离是多少？
图 4－Z－8
15．(8 分)如图 4－Z－9，快乐农庄有一段斜坡 BC 长为 10 米，坡角∠CBD＞45°，较为
陡峭，为了方便通行，现准备把坡角减小．已知 CD＝8 米，BD＝6 米，AB＝9 米．求斜坡新5
起点 A 与点 C 的距离．
图 4－Z－9
16．(12 分)如图 4－Z－10，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，若 CD
＝2，过点 D 作 DE∥AB，过点 E 作 EF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F，求 EF 的长．
图 4－Z－106
17．(12 分)某机床内有两个小滑块 A，B，由一根连杆连结，A，B 分别可以在互相垂直
的两个滑道上滑动．
(1)如图 4－Z－11①，开始时滑块 A 距 O 点 16 厘米，滑块 B 距 O 点 12 厘米，求连杆 AB
的长；
(2)在(1)的条件下，当机械运转时，如图②，如果滑块 A 向下滑动 6 厘米时，求滑块 B
向外滑动了多少厘米．
图 4－Z－117
详解详析
1．[解析] D 因为 72＋242＝252，所以以 7，25，24 为三边长能构成直角三角形．
2．B 3.D
4．[解析] B 由题意可知，△ACD 和△AED 关于直线 AD 对称，因而△ACD≌△AED.进一
步则有 AE＝AC＝6 cm，CD＝ED，ED⊥AB.设 CD＝ED＝x cm，在 Rt△ABC 中，由勾股定理可得
AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝100，得 AB＝10 cm.在 Rt△BDE 中，有 x2＋(10－6)2＝(8－x)2，解
得 x＝3.故 CD＝3 cm.
5．[解析] D 如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.
∵△ABC 中，AB＝AC＝17，BC＝16，
∴BD＝
1
2BC＝8，
∴在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 AD＝ 172－82＝15，
∴S△ABC＝
1
2×15×16＝120.故选 D.
6．[解析] C x 可能为斜边长，也可能是直角边长，所以分两种情况讨论：x＝ 32＋42
＝5 或 x＝ 42－32＝ 7.
7．C
8．A
9．225
10．[答案] 7
[解析] 在 Rt△ABP 中，由勾股定理，得 BP＝ AP2－AB2＝ 52－32＝4.
在 Rt△PCD 中，由勾股定理，得 PD＝ 52－42＝3，所以 BD＝3＋4＝7(m)．
11．168
12. n2＋1
13．解：(1)n2－1 2n n2＋1
(2)是直角三角形．
理由：因为 a2＝(n2－1)2＝n4－2n2＋1，b2＝(2n)2＝4n2，c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，
而 n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1，
即 a2＋b2＝c2，
所以以 a，b，c 为三边长的三角形为直角三角形．
14．解：如图，过点 B 作 BC⊥AC，垂足为 C，连结 AB.
观察图可知 AC＝8－3＋1＝6，BC＝2＋5＝7，
在 Rt△ACB 中，AB＝ AC2＋BC2＝ 62＋72＝ 85(km)．
答：登陆点到宝藏埋藏点的直线距离是 85 km.
15．解：因为 CD2＋BD2＝82＋62＝100＝102＝BC2，
所以△BDC 是直角三角形，且∠BDC＝90°.
在 Rt△ACD 中，AC2＝CD2＋AD2＝82＋(9＋6)2＝289＝172，所以 AC＝17 米．
所以斜坡新起点 A 与点 C 的距离为 17 米．
16．解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝∠A＝60°.
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°，
∴∠EDC＝∠ACB＝∠DEC＝60°，
∴DE＝EC＝CD＝2.
∵EF⊥DE，9
∴∠DEF＝90°，∠EDC＋∠F＝90°，
∴∠CEF＝∠DEF－∠DEC＝90°－60°＝30°，∠F＝90°－∠EDC＝30°，
∴∠CEF＝∠F，
∴CF＝EC＝2，
∴DF＝CD＋CF＝4.
在 Rt△DEF 中，EF2＝DF2－DE2＝42－22＝12，
∴EF＝ 12.
17．解：(1)由题意得，OA＝16 厘米，OB＝12 厘米，
在 Rt△AOB 中，AB＝ OA2＋OB2＝ 162＋122＝20(厘米)，
∴连杆 AB 的长为 20 厘米．
(2)由(1)得，CD＝AB＝20 厘米，
∵AC＝6 厘米，
∴OC＝OA－AC＝10 厘米．
在 Rt△COD 中，OD＝ CD2－OC2＝ 202－102＝ 300(厘米)．
∴BD＝OD－OB＝( 300－12)厘米，
∴滑块 B 向外滑动了( 300－12)厘米．10
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