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第 13 章 全等三角形
一、选择题(本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分)
1．已知△ABC≌△FED，若∠E＝37°，∠C＝100°，则∠A 的度数是( )
A．100° B．80° C．43° D．37°
2．若等腰三角形有一个角为 45°，则这个三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．锐角三角形或等腰直角三角形
3．如图 3－Z－1，∠AOB＝50°，OM 平分∠AOB，MA⊥OA 于点 A，MB⊥OB 于点 B，则∠MAB
等于( )
图 3－Z－1
A．50° B．40° C．25° D．20°
4．如图 3－Z－2，在△ABC 中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点 A 和点 C 为圆心，大2
于
1
2AC 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连结 AD，则∠BAD
的度数为( )
图 3－Z－2
A．65° B．60° C．55° D．45°
5．如图 3－Z－3，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，ED∥BC，已知 AB＝3，AD＝1，则△AED
的周长为( )
图 3－Z－3
A．2 B．3 C．4 D．5
6．同学们都玩过跷跷板游戏，图 3－Z－4 是一个跷跷板的示意图，立柱 OC 与地面垂直，
OA＝OB，当跷跷板的一头 A 着地时，∠OAC＝25°；则当跷跷板的另一头 B 着地时，∠AOA′
等于( )
图 3－Z－4
A．25° B．50° C．60° D．130°
图 3－Z－5
7．如图 3－Z－5，在长方形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6.延长 BC 到点 E，使 CE＝2，连结
DE，动点 P 从点 B 出发，以每秒 2 个单位的速度沿折线 BCDA 向终点 A 运动，设点 P 的运动
时间为 t 秒，当 t 的值为多少时，△ABP 和△DCE 全等( )3
A．1 B．1 或 3
C．1 或 7 D．3 或 7
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分)
8．如图 3－Z－6，已知△ABC 中，AB＝AC，点 D，E 在 BC 上，要使△ABD≌△ACE，则需
要添加的一个适当的条件是________(只填一个即可)．
图 3－Z－6
9．如图 3－Z－7，已知在△ABC 中，DE 是 BC 的垂直平分线，垂足为 E，交 AC 于点 D，
若 AB＝6，AC＝9，则△ABD 的周长是________．
图 3－Z－7
10．如图 3－Z－8，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，以点 A 为圆心，以任意长为半径画弧，
交 AB 于点 E，交 AD 于点 F，分别以点 E 和点 F 为圆心，以大于
1
2EF 的长为半径画弧，两弧
交于点 G，作射线 AG，交 BC 于点 H，由作图过程可得到△ABH 的形状是________．
图 3－Z－8
11.如图 3－Z－9，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在 AC 上取一点
E，使 EC＝BC，过点 E 作 EF⊥AC 交 CD 的延长线于点 F，若 EF＝5 cm，则 AE＝________cm.
4
图 3－Z－9
12．如图 3－Z－10，∠AOB 是一角度为 10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部
添加一些钢管：EF，FG，GH，…，且 OE＝EF＝FG＝GH＝…，在 OA，OB 足够长的情况下，最
多能添加这样的钢管的根数为________．
图 3－Z－10
三、解答题(本大题共 4 小题，共 52 分)
13．(10 分)如图 3－Z－11，点 A，F，C，D 在同一条直线上，已知 AF＝DC，∠A＝∠D，
BC∥EF.
求证：AB＝DE.
图 3－Z－11
14．(12 分)如图 3－Z－12，已知 BD 为∠ABC 的平分线，AB＝BC，点 P 在 BD 上，PM⊥AD
于点 M，PN⊥CD 于点 N.求证：PM＝PN.
图 3－Z－125
15．(14 分)如图 3－Z－13，AD∥BC，∠BAD＝90°，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，
与射线 AD 相交于点 E，连结 BE，过点 C 作 CF⊥BE，垂足为 F.猜想线段 BF 与图中现有的哪
一条线段相等，请加以证明．
图 3－Z－13
16．(16 分)阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图 3－Z－14，E 是 BC 的中点，点 A 在 DE 上，且∠BAE＝∠CDE.
求证：AB＝CD.6
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性
质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们所在的两个三角形也
不全等．因此，要证明 AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
现给出如下两种添加辅助线的方法，请对原题进行证明．
(1)如图 3－Z－15①，延长 DE 到点 F，使得 EF＝DE.
(2)如图②，作 CG⊥DE 于 G，BF⊥DE，交 DE 的延长线于 F.
图 3－Z－14
图 3－Z－157
详解详析
1．C 2.D
3．[解析] C ∵OM 平分∠AOB，MA⊥OA 于点 A，MB⊥OB 于点 B，∴∠AOM＝∠BOM＝25
°，MA＝MB，∴∠OMA＝∠OMB＝
1
2∠AMB.
∵∠OMA＝90°－25°＝65°，
∴∠OMA＝∠OMB＝65°，∴∠AMB＝130°，
∴∠MAB＝
1
2×(180°－130°)＝25°.故选 C.
4．[解析] A 由题意可得 MN 是 AC 的垂直平分线，
则 AD＝DC，故∠C＝∠DAC.
∵∠C＝30°，
∴∠DAC＝30°.
∵∠B＝55°，
∴∠BAC＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝65°.
故选 A.
5．[解析] C ∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵ED∥BC，∴∠CBD＝∠BDE，
∴∠ABD＝∠BDE，∴BE＝DE，
∴△AED 的周长＝AE＋DE＋AD＝AE＋BE＋AD＝AB＋AD.
∵AB＝3，AD＝1，
∴△AED 的周长＝3＋1＝4.故选 C.
6．B8
7．[解析] C 分两种情况进行讨论：①若点P 在 BC 边上，此时 BP＝CE＝2，又因为∠ABP
＝∠DCE＝90°，AB＝CD，根据“S.A.S.”可证得△ABP≌△DCE，由题意得 BP＝2t＝2，所
以 t＝1；②若点 P 在 AD 边上，此时 AP＝CE＝2，根据“S.A.S.”可证得△BAP≌△DCE，由
题意得 AP＝16－2t＝2，解得 t＝7.综上，当 t 的值为 1 或 7 时，△ABP 和△DCE 全等．故选
C.
8．答案不唯一，如 BD＝CE 或∠BAD＝∠CAE 等
9．[答案] 15
[解析] ∵DE 是 BC 的垂直平分线，∴DB＝DC，∴△ABD 的周长是 AB＋DB＋DA＝AB＋DC＋
DA＝AB＋AC＝6＋9＝15.
10．等腰三角形
11．[答案] 3
[解析] ∵CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠ACD.
∵EF⊥AC，
∴∠FEC＝∠ACB＝90°.
又∵BC＝CE，
∴△ACB≌△FEC，
∴EF＝AC.
∵BC＝2 cm，EF＝5 cm，
∴AE＝AC－EC＝EF－BC＝5－2＝3(cm)．
12．[答案] 8
[解析] ∵添加的钢管长度都与 OE 相等，∠AOB＝10°，
∴∠GEF＝∠FGE＝20°，…，从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三
角形的底角是 10°，第二个等腰三角形的底角是 20°，第三个等腰三角形的底角是 30°，
第四个等腰三角形的底角是 40°，第五个等腰三角形的底角是 50°，第六个等腰三角形的
底角是 60°，第七个等腰三角形的底角是 70°，第八个等腰三角形的底角是 80°，第九个
等腰三角形的底角是 90°就不存在了．所以一共可添加 8 根钢管．9
13．证明：∵BC∥EF，∴∠ACB＝∠DFE.
∵AF＝DC，∴AF＋FC＝DC＋FC，
即 AC＝DF.
在△ABC 与△DEF 中，
∵∠A＝∠D，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，
∴△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE.
14．证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD.
在△ABD 和△CBD 中，
∵AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD(S.A.S.)，
∴∠ADB＝∠CDB.
∵点 P 在 BD 上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN.
15．[解析] 由题意可得 BE＝BC，∠AEB＝∠FBC，易证明 Rt△ABE 与 Rt△FCB 全等，即
可得 BF＝AE.
解：猜想：BF＝AE.
证明：∵CF⊥BE，
∴∠BFC＝90°.
又∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠FBC.
∵E，C 在以点 B 为圆心，BC 长为半径的弧上，
∴BE＝BC.
在△ABE 与△FCB 中，10
∵∠AEB＝∠FBC，∠BAE＝∠CFB＝90°，BE＝BC，
∴△ABE≌△FCB(A.A.S.)，∴BF＝AE.
16．证明：(1)在△DEC 和△FEB 中，
∵DE＝FE，∠DEC＝∠FEB，BE＝CE，
∴△DEC≌△FEB，∴∠D＝∠F，DC＝FB.
∵∠BAE＝∠D，∴∠BAE＝∠F，
∴AB＝FB，∴AB＝CD.
(2)∵CG⊥DE，BF⊥DE，
∴∠CGE＝∠BFE＝90°.
在△CGE 和△BFE 中，
∵∠CGE＝∠BFE，∠CEG＝∠BEF，BE＝CE，
∴△CGE≌△BFE，∴BF＝CG.
在△ABF 和△DCG 中，
∵∠BAF＝∠CDG，∠BFA＝∠CGD＝90°，BF＝CG，
∴△ABF≌△DCG，∴AB＝CD.
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