2018年秋八年级数学上册第13章全等三角形本章总结提升练习（新版）华东师大版.doc

1 全等三角形 本章总结提升 问题 1　命题与逆命题、定理与逆定理 什么叫做命题？什么叫做逆命题？怎样写出一个命题的逆命题？什么叫逆定理？每个 定理都有逆定理吗？2 例 1 下列命题的逆命题不是定理的是(　　) A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同位角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 问题 2　运用全等三角形解决问题 从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条件来判定两个三角形是 否全等时，哪些是能够判定的？判定两个直角三角形全等的条件是什么？ 例 2 已知：如图 13－T－1 所示，CD∥AB，∠BAD 和∠ADC 的平分线相交于点 E，过点 E 的直线 BC 分别交 DC，AB 于 C，B 两点． 求证：AD＝AB＋CD. 图 13－T－13 问题 3　尺规作图 什么叫尺规作图，基本的尺规作图有哪些？运用尺规作图需要注意哪些问题？ 例 3 如图 13－T－2，已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图(保留作图痕迹， 不要求写作法)，并根据要求回答问题： (1)作∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D； (2)作线段 BD 的垂直平分线交 AB 于点 E，交 BC 于点 F. 由(1)(2)观察：线段 EF 与线段 BD 有怎样的关系？ 图 13－T－2 问题 4　等腰三角形、角平分线和线段垂直 平分线的综合应用 利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角形加以证明 吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？线段的垂直平分线与角平分线的 性质与判定定理是怎样的？你能用全等三角形证明垂直平分线与角平分线的性质吗？ 例 4如图 13－T－3 所示，AC⊥CD，BD⊥CD，线段 AB 的垂直平分线 EF 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，且 AC＝FD，连结 AF，BF. 求证：△ABF 是等腰直角三角形． 图 13－T－34 　　　　　　　　　　　 等角对等边的几个应用 等腰三角形是一类特殊的三角形，它比一般的三角形应用更为广泛．我们在七年级已经 知道，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，这是等腰三角形的定义，也可以作为等腰三 角形的判定条件．不过，它是根据三角形的边来判定它是等腰三角形的．那么，能否根据三 角形的角的关系来判定一个三角形是等腰三角形呢？回答是肯定的，课本的第 82 页就证明 了“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”，这个结论简称为“等 角对等边”．至此，我们就可以用三角形中角的关系来判定等腰三角形了．下面，我们来看 看这个定理的常见应用： 一、用等角对等边判定等腰三角形 例 1 如图 13－T－4，已知 AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与 BD 交于点 O，AC＝BD. (1)求证：BC＝AD； (2)试判断△OAB 的形状，并说明理由． 解：(1)证明： ∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C＝∠D＝90°. 在 Rt△ACB 和 Rt△BDA 中， ∵AB＝BA，AC＝BD， ∴Rt△ACB≌Rt△BDA(H.L.)， ∴BC＝AD. (2)△OAB 是等腰三角形． 理由：由△ACB≌△BDA，得∠CAB＝∠DBA， ∴OA＝OB， ∴△OAB 是等腰三角形． [点评] 判定一个三角形是等腰三角形的两种途径：两边相等或两角相等． 图 13－T－45 二、用等角对等边证明等腰三角形 例 2如图 13－T－5，点 O 是 AD，BC 的交点，AC＝BD，∠BAC＝∠ABD.求证：△ABO 是等 腰三角形． 图 13－T－5 [解析] 要证明△ABO 是等腰三角形，由图可知，就是要证明 OA＝OB，也就是要证明∠CBA ＝∠DAB，则只要证明△ABC≌△BAD 即可． 证明：∵AC＝BD(已知)， ∠BAC＝∠ABD(已知)， AB＝BA(公共边)， ∴△ABC≌△BAD(S.A.S.)， ∴∠CBA＝∠DAB(全等三角形的对应角相等)， ∴OA＝OB (等角对等边)， 即△ABO 是等腰三角形． [点评] 由例 2 进一步弄清了证明题的两个主要步骤：分析是执果索因，即根据结论去 寻找原因；证明是由因到果，即由题设推理出要证明的结果． 三、用等角对等边计算等腰三角形 例 3 已知三角形的内角分别是 x 度，y 度，且 x2－y2＝0.三角形的一边长为 7，另一边 长为 10，求它的周长． [解析] 先由内角关系 x2－y2＝0，判断出该三角形为等腰三角形，再分情况求出三角形 的周长． 解：由 x2－y2＝0，得(x＋y)(x－y)＝0.6 因为 x＋y≠0， 所以 x－y＝0, 即 x＝y. 由等角对等边，可知此三角形是等腰三角形． 当腰长是 7 时，则底边长是 10，其周长是 7＋7＋10＝24； 当腰长是 10 时，则底边长是 7，其周长是 10＋10＋7＝27. 所以这个三角形的周长是 24 或 27. [点评] 涉及等腰三角形的计算等问题，一般要分情况讨论，才能避免漏解．7 详解详析 【整合提升】 例 1　C 例 2　[解析] 要证 AD＝AB＋CD，在 AD 上截取线段 AF，使 AF＝AB，只需证 DF＝DC 即 可． 证明：在线段 AD 上截取线段 AF，使 AF＝AB，连结 EF. 在△ABE 和△AFE 中， ∵AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE(S.A.S.)， ∴∠B＝∠AFE(全等三角形的对应角相等)． ∵CD∥AB， ∴∠C＋∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． 又∵∠DFE＋∠AFE＝180°， ∴∠C＝∠DFE. 在△CDE 和△FDE 中， ∵∠CDE＝∠FDE，∠C＝∠DFE，DE＝DE， ∴△CDE≌△FDE(A.A.S.)， ∴DC＝DF， ∴AD＝AF＋DF＝AB＋CD. 例 3　[解析] (1)以点 B 为圆心，任意长为半径画弧与 AB，BC 交于 E，F 两点，再以这 两点为圆心，以大于两点间距离的一半为半径画弧，连结点 B 与两弧在∠ABC 内部的交点并 延长，与 AC 交于点 D，BD 就是所求作的角平分线．8 (2)分别以 B，D 为圆心，以大于 BD 一半的长为半径在 BD 的两侧画弧交于两点，连结两 弧的交点，交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，EF 就是所求作的线段 BD 的垂直平分线． 解：(1)，(2)如图所示． 从图中可以看出 EF 与 BD 互相垂直平分． 例 4　[解析] ∵EF 垂直平分 AB， ∴AF＝BF. 只需再证∠AFB＝90°， 即证∠AFC＋∠BFD ＝90°. 根据“H.L.”可判定 Rt△ACF 和 Rt△FDB 全等，从而∠CAF＝∠DFB， 再由∠AFC＋∠CAF＝90°可证∠AFC＋∠DFB ＝90°. 证明：∵EF 是 AB 的垂直平分线， ∴FA＝FB. ∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴△ACF 与△FDB 都是直角三角形． 在 Rt△ACF 与 Rt△FDB 中， ∵AC＝FD，FA＝FB, ∴Rt△ACF≌Rt△FDB(H.L.)， ∴∠CAF＝∠DFB. ∵∠C＝90°， ∴∠CAF＋∠CFA＝90°， ∴∠CFA＋∠DFB＝90°， ∴∠AFB＝90°，9 故△ABF 是等腰直角三角形．