2018年秋九年级数学上册第23章解直角三角形23.1锐角的三角函数23.1.1第2课时正弦与余弦同步练习1新版沪科版.doc

‎23.1.1‎‎ 第2课时　正弦与余弦 一、选择题 ‎1．［2017·湖州］已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎2．［2017·日照］在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎3．把锐角三角形ABC三边的长度都缩小为原来的得到△A′B′C′，则下列关于∠A的对应角∠A′的说法正确的是(　　)‎ A．各个三角函数值不变 B．各三角函数值中仅有正切值不变 C．正弦值缩小为原来的 D．余弦值缩小5为原来的 ‎4．［2017·天水］在正方形网格中△ABC的位置如图31－K－1所示，则cosB的值为(　　)‎ A. B. C. D. 图31－K－1‎ ‎5．如图31－K－2，直线y＝x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B，则cos∠BAO的值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎　　　‎ ‎ 图31－K－2‎ ‎6．［2016·乐山］如图31－K－3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论中不正确的是(　　)‎ 9‎ A．sinB＝ B．sinB＝ C．sinB＝ D．sinB＝ 图31－K－3‎ ‎7．［2017·合肥庐阳区四模］如图31－K－4，点A在反比例函数y＝－(x＜0)的图象上，点B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，且∠AOB＝90°.则cos∠OBA的值等于(　　)‎ A. B. C. D. 图31－K－4‎ 二、填空题 ‎8．如图31－K－5，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4，则sinB＝________．‎ 图31－K－5‎ ‎9．如图31－K－6，已知CD是Rt△ABC斜边上的高，且AB＝10，BC＝8，则cos∠ACD＝________．‎ ‎　　　　‎ ‎ 图31－K－6‎ ‎10．［2017·马鞍山当涂县月考］如图31－K－7，网格中的每个小正方形的边长都是1，ABC每个顶点都在网格点上，则sinA＝________．‎ 图31－K－7‎ 三、解答题 9‎ ‎11．如图31－K－8所示，∠ACB＝90°，DE⊥AB，垂足为E，AB＝10，BC＝6，求∠BDE的三个三角函数值．‎ 图31－K－8‎ 12． 如图31－K－9，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求cos∠ABC，sin∠BAC. ‎ ‎ ‎ 图31－K－9‎ ‎ ‎ ‎13．如图31－K－10，在△ABC中，AD⊥BC于点D，如果AD＝9，CD＝3，E为AC的中点，求∠ADE和∠EDC的正弦值．‎ 图31－K－10‎ 9‎ ‎14．［2017·池州月考］如图31－K－11，在△ABC中，AB＝AC＝15，BC＝24，点P，D分别在边AB，BC上，且AD2＝AP·AB，求∠ADP的正弦值．‎ 图31－K－11‎ ‎15．如图31－K－12，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为E.已知AC＝15，cosA＝.‎ ‎(1)求线段CD的长；‎ ‎(2)求sin∠DBE的值．‎ 图31－K－12‎ ‎16规律探索阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：‎ 9‎ sin30°＝，cos30°＝，则sin230°＋cos230°＝__________；①‎ sin45°＝，cos45°＝，则sin245°＋cos245°＝________；②‎ sin60°＝，cos60°＝，则sin260°＋cos260°＝________；③‎ ‎…‎ 观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝________．④‎ ‎(1)如图31－K－13，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；‎ ‎(2)已知：∠A为锐角(cosA>0)且sinA＝，求cosA.‎ 图31－K－13‎ 9‎ ‎1．[解析] A　在Rt△ABC中，cosB＝＝.‎ ‎2．[解析] B　在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝12，∴sinA＝＝.‎ ‎3．[解析] A　缩小后的三角形与△ABC相似，则∠A的度数不变，即∠A′＝∠A，故∠A′的各个三角函数值不变．‎ ‎4．[解析] B　过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，通过网格容易看出△ABD为等腰直角三角形，AD＝BD＝4，所以AB＝4 ，故cosB＝＝.‎ ‎5．[解析] A　直线AB与坐标轴的交点坐标为A(－4，0)，B(0，3)，则OA＝4，OB＝3，所以AB＝5，所以cos∠BAO＝.‎ ‎6．[解析] C　由题意可知∠B＝∠CAD，∴sinB＝＝＝.‎ ‎7．[解析] D　如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，易证△OBD∽△AOC，∴＝.根据反比例函数的几何意义可得S△OBD＝，S△AOC＝3，∴＝＝＝6，∴＝(负值已舍去)．设BO＝x，则AO＝x，∴AB＝x，∴cos∠OBA＝＝＝.‎ ‎8. ‎9．[答案] ‎[解析] ∵CD是Rt△ABC斜边上的高，‎ ‎∴CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°.‎ ‎∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°，‎ ‎∴∠ACD＝∠B，‎ ‎∴cos∠ACD＝cosB＝＝＝，‎ 故答案为.‎ ‎10．[答案] 9‎ ‎[解析] S△ABC＝4×4－×2×4－×2×2－×2×4＝6.‎ 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.‎ 根据勾股定理，得AB＝AC＝＝2 .∵S△ABC＝AB·CD＝6，∴CD＝＝.根据正弦的定义可得sinA＝＝＝.‎ ‎11．解：∵∠B＝∠B，∠DEB＝∠C＝90°，‎ ‎∴∠BDE＝∠A.‎ ‎∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，‎ ‎∴sin∠BDE＝sinA＝，cos∠BDE＝cosA＝，tan∠BDE＝tanA＝.‎ ‎12．解：过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝BC＝3，∴cos∠ABC＝＝.‎ 过点C作CE⊥AB于点E.‎ ‎∵cos∠ABC＝＝，‎ ‎∴BE＝BC＝，‎ ‎∴AE＝AB－BE＝，‎ ‎∴CE＝＝，‎ ‎∴sin∠BAC＝＝.‎ ‎13．解：在Rt△ACD中，AC＝＝＝3 .‎ ‎∵DE是Rt△ACD斜边AC上的中线，‎ ‎∴AE＝DE＝CE，‎ ‎∴∠ADE＝∠CAD，∠EDC＝∠C.‎ 根据三角函数的定义，得 sin∠ADE＝sin∠CAD＝＝＝，‎ sin∠EDC＝sinC＝＝＝.‎ ‎14．解：∵AD2＝AP·AB，∴＝.‎ 又∵∠DAP＝∠BAD，‎ ‎∴△PAD∽△DAB，∴∠ADP＝∠B.‎ 如图，过点A作AE⊥BC于点E.‎ ‎∵△ABC是等腰三角形，‎ 9‎ ‎∴BE＝CE＝12，‎ ‎∴AE＝＝＝9，‎ ‎∴sin∠ADP＝sinB＝＝＝.‎ ‎15．解：(1)∵在Rt△ABC中，AC＝15，cosA＝＝＝，∴AB＝25.‎ ‎∵D是边AB的中点，∴CD＝.‎ ‎(2)在Rt△ABC中，BC＝＝＝20.‎ 又∵AD＝BD＝CD＝，‎ 设DE＝x，EB＝y，则 在Rt△BDE中，x2＋y2＝，①‎ 在Rt△BCE中，＋y2＝202，②‎ 联立①②，解得x＝.‎ ‎∴sin∠DBE＝＝＝.‎ ‎16解：①②③④都填1‎ ‎(1)证明：如图所示，过点B作BH⊥AC于点H，BH2＋AH2＝AB2，‎ 则sinA＝，cosA＝，‎ 所以sin2A＋cos2A ‎＝＋ ‎＝ ‎＝1.‎ ‎(2)∵sin‎2A＋cos‎2A＝1，sinA＝，‎ ‎∴cos2A＝1－＝.‎ ‎∵cosA>0，∴cosA＝. ‎ 9‎ 9‎