23.2 第1课时 解直角三角形
知识点 1 已知一边一锐角解直角三角形
1．如图23－2－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( )
A. B．4 C．8 D．4
图23－2－1
2．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC等于( )
A．3sin40° B．3sin50°
C．3tan40° D．3tan50°
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边a＝4，cosB＝，则斜边c的长为________．
4．如图23－2－2，AD⊥CD，∠ABD＝60°，AB＝4 m，∠C＝45°，则AC＝________．
图23－2－2
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知∠B＝60°，c＝20，解这个直角三角形．
知识点 2 已知两边解直角三角形
6．如图23－2－3，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，那么∠B的度数为( )
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A．60° B．45° C．30° D．15°
图23－2－3
7．在△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.若a＝，c＝，则下列解该直角三角形的结果中完全正确的一组是( )
A．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝
B．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝
C．∠A＝45°，∠B＝45°，b＝
D．∠A＝45°，∠B＝45°，b＝
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，b＝7，解这个直角三角形．(角度精确到1″)
知识点 3 将斜三角形转化为直角三角形
9．已知等腰三角形的腰长为2 ，底边长为6，则底角的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
10．［教材例2变式］如图23－2－4，在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若∠A＝60°，b＝20 cm，c＝30 cm，求BC的长．
图23－2－4
11．如图23－2－5，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D.若AC＝6 ，∠C＝45°，tanB＝
8
3，则BD等于( )
A．2 B．3 C．3 D．2
图23－2－5
12．如图23－2－6，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝2 ，则AB的长度为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
图23－2－6
13． ［2017·义乌］以Rt△ABC(∠B＝90°)的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB，AC分别交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于点D，若∠ADB＝60°，点D到AC的距离为2，则AB的长为________．
14．［2017·临沂］如图23－2－7, 在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若AB＝4，BD＝10，sin∠BDC＝，则▱ABCD的面积是________．
图23－2－7
15．在△ABC中，AB＝8，∠B＝30°，AC＝5，则BC＝________．
16．如图23－2－8，已知 tanC＝，点P在边CA上，CP＝5，点M，N在边CB上，PM＝PN.若MN＝2，求PM的长．
图23－2－8
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17．如图23－2－9，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，cosC＝，sinB＝，AD＝1.
(1)求BC的长；
(2)求tan∠DAE的值．
图23－2－9
18．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，则CP的长为__________．
19．一副三角尺按图23－2－10放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12 ，求CD的长．
图23－2－10
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教师详解详析
1．D [解析] ∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
∴cosB＝，即cos30°＝，∴BC＝8×＝4 .故选D.
2．D
3．6 [解析] 由余弦定义，得cosB＝＝，解得c＝6.
4．2 m [解析] 在Rt△ABD中，∠D＝90°，∠ABD＝60°，AB＝4.∵sin∠ABD＝，
即sin60°＝，∴AD＝2 .
∵在Rt△ACD中，∠D＝90°，∠C＝45°，AD＝2 ，
∴sin∠ACD＝，即sin45°＝，∴AC＝2 m.
5．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝180°－∠C－∠B＝180°－90°－60°＝30°，∴a＝c＝×20＝10，
∴b＝＝＝10 .
6．C 7.C
8．[解析] 由勾股定理，可先求得c的值．然后选用tanA＝，利用计算器求得锐角A，最后根据两锐角互余，可得另一锐角B的度数．
解：∵a＝5，b＝7，
∴c＝＝＝.
∵tanA＝＝，
∴∠A≈35°32′16″，则∠B≈54°27′44″.
9．A [解析] 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2 ，BC＝6，过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝3.在Rt△ABD中，cosB＝＝＝，∴∠B＝30°，即等腰三角形的底角为30°.
10．解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
在Rt△ACD中，∵sinA＝，cosA＝，
∴CD＝bsin60°＝20×＝10 ，AD＝bcos60°＝20×＝10，BD＝30－10＝20，
∴BC＝＝10 (cm)．
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11． A
[解析] ∵AC＝6 ，∠C＝45°，
∴AD＝AC·sin45°＝6 ×＝6.
∵tanB＝3，∴＝3，∴BD＝＝2.
故选A.
12． B
[解析] 过点C作CD⊥AB于点D.
∵sinA＝，
∴CD＝AC·sinA＝AC·sin30°＝2 ×＝.
∵cosA＝，
∴AD＝AC·cos30°＝2 ×＝3.
∵tanB＝＝，
∴BD＝2.
∴AB＝AD＋BD＝3＋2＝5.
故选B.
13．2 [解析] 如图，由题意可知AD平分∠BAC.作DE⊥AC，垂足为E，
则DE＝2，所以BD＝DE＝2.在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，所以AB＝2×＝2 .
14．24 [解析] 根据sin∠BDC＝可以求出△BCD中BD边上的高，从而求出▱ABCD的面积．过点C作CE⊥BD于点E，在Rt△ECD中，
∵sin∠BDC＝＝＝，AB＝4，∴CE＝，S▱ABCD＝2××BD×CE＝24.
15． 4 ±3
[解析] 由于∠C可能是锐角也可能是钝角，因此要分类求解．如图，过点A作BC边的垂线，设垂足为D.首先在Rt△ABD中，求出AD的长，进而可在两个直角三角形中求出CD，BD的长．
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16．解：如图，过点P作PD⊥MN于点D.
∵tanC＝＝，
∴设PD＝4x，则CD＝3x.
∵CP＝5，
∴由勾股定理，得(3x)2＋(4x)2＝52，
解得x＝1，∴PD＝4.
∵MN＝2，PM＝PN，PD⊥MN，∴MD＝1，
∴PM＝＝.
17．解：(1)在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵cosC＝，∴∠C＝45°.
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝1，∠C＝45°，∴CD＝AD＝1.
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝＝，AD＝1，∴AB＝＝3，
∴BD＝＝2 ，
∴BC＝BD＋CD＝2 ＋1.
(2)∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BC＝＋，
∴DE＝CE－CD＝－，
∴tan∠DAE＝＝－.
18． 2 或4 或6
[解析] (1)如图①，∠ABP＝30°.
∵∠ABC＝60°，∴∠ACB＝30°.
∵BC＝6，∴AB＝3，
∴AC＝3 .
在Rt△BAP中，tan30°＝，
∴AP＝AB·tan30°＝3×＝，
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∴CP＝3 －＝2 .
(2)如图②，由图①知AB＝3，AC＝3 .又∠ABP＝30°，
∴AP＝，∴CP＝3 ＋＝4 .
(3)如图③，∵∠ABC＝∠ABP＝30°，
∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠P，∴BC＝BP.
∵∠C＝60°，
∴△CBP是等边三角形，
∴CP＝BC＝6.
故答案为2 或4 或6.
19．解：如图，过点B作BM⊥FD于点M.
在△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
AC＝12 ，∴BC＝AC＝12 .
∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝45°，
∴BM＝BC·sin45°＝12 ×＝12，
∴CM＝BM＝12.
在△EFD中，∵∠F＝90°，∠E＝30°，
∴∠EDF＝60°，∴MD＝＝4 ，
∴CD＝CM－MD＝12－4 .
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