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高考大题专攻练
7.立体几何(A组)
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1.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=
∠CBD，AB=BD.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC.
(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D -AE-C的余弦值.
【解题导引】(1)若证明平面ACD⊥平面ABC可根据面面垂直的判定在平面ACD内找一条线垂直平面ABC，从而转化为线面垂直，再利用线线垂直确定线面垂直.
(2)利用(1)中的垂直关系建立空间直角坐标系，求平面ADE和平面ACE的法向量，求法向量的余弦值得二面角的余弦值.
【解析】(1)如图，取AC中点O，连接OD，OB.[来源:学科网ZXXK]
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由∠ABD=∠CBD，AB=BC=BD知△ABD≌△CBD，所以CD=AD.
由已知可得△ADC为等腰直角三角形，D为直角顶点，
则OD⊥AC，设正△ABC边长为a，[来源:学科网ZXXK]
则OD=AC=a，OB=a，BD=a，所以OD2+OB2=BD2，
即OD⊥OB.又OB∩AC=O，所以OD⊥平面ABC，
又OD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)如图，以OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，当E为BD中点时，平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，故可得
A，D，C，
E，
则=，=.
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设平面ADE的一个法向量为n1=，
则即
令z1=1，则x1=1，y1=，所以n1=.
同理可得平面AEC的一个法向量n2=，
所以cos===.
因为二面角D -AE-C的平面角为锐角，
所以二面角D -AE-C的余弦值为.[来源:学|科|网]
2.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB∥CD，AD⊥CD，AB=AD=CD.
世纪金榜导学号92494443
(1)求证：BF∥平面CDE.
(2)求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值.
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【解析】(1)因为AF∥DE，AF⊄平面CDE，DE⊂平面CDE，[来源:学科网ZXXK]
所以AF∥平面CDE，
同理，AB∥平面CDE，又AF∩AB=A，
所以平面ABF∥平面CDE，
又BF⊂平面ABF，所以BF∥平面CDE.
(2)因为正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，正方形ADEF与梯形ABCD交于AD，CD⊥AD，[来源:Z。xx。k.Com]
所以CD⊥平面ADEF，
因为DE⊂平面ADEF，所以CD⊥ED，
因为ADEF为正方形，所以AD⊥DE，
因为AD⊥CD，所以以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则设AD=1，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，F(1，0，1)，A(1，0，0)，
=(1，1，0)，=(1，0，1)，
取平面CDE的一个法向量=(1，0，0)，
设平面BDF的一个法向量为n=(x，y，z)，则即
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取n=(1，-1，-1)，
cos=，
所以平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值为.
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