分层规范快练(三十四) 电磁感应中的动力学、能量和动量问题
[双基过关练]
1．如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R，质量不能忽略的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，棒在竖直向上的恒力F作用下加速上升的一段时间内，力F做的功与安培力做的功的代数和等于( )
A．棒的机械能增加量
B．棒的动能增加量
C．棒的重力势能增加量
D．电阻R上放出的热量
解析：棒受重力G、拉力F和安培力F安的作用．由动能定理：WF＋WG＋W安＝ΔEk得WF＋W安＝ΔEk＋mgh，即力F做的功与安培力做功的代数和等于机械能的增加量，选项A正确．
答案：A
2．[2019·河北省定州中学月考]如图所示，足够长的U形光滑金属导轨平面与水平面成角θ(0Q2，q1>q2
C．Q1＝Q2，q1＝q2 D．Q1＝Q2，q1>q2
解析：设线框边长ab＝l1，bc＝l2，线框中产生的热量Q1＝I2Rt＝2·R·＝＝l1，Q2＝l2，由于l1>l2，所以Q1>Q2.通过线框导体横截面的电荷量q＝·Δt＝·Δt＝＝，故q1＝q2，A选项正确．
答案：A
4．(多选)
一空间有垂直纸面向里的匀强磁场B，两条电阻不计的平行光滑导轨竖直放置在磁场内，如图所示，磁感应强度B＝0.5 T，导体棒ab、cd长度均为0.2 m，电阻均为0.1 Ω，重力均为0.1 N，现用力向上拉动导体棒ab，使之匀速上升(导体棒ab、cd
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与导轨接触良好)，此时cd静止不动，则ab上升时，下列说法正确的是( )
A．ab受到的拉力大小为2 N
B．ab向上运动的速度为2 m/s
C．在2 s内，拉力做功，有0.4 J的机械能转化为电能
D．在2 s内，拉力做功为0.6 J
解析：对导体棒cd分析：mg＝BIl＝，得v＝2 m/s，故选项B正确；对导体棒ab分析：F＝mg＋BIl＝0.2 N，选项A错误；在2 s内拉力做功转化的电能等于克服安培力做的功，即W＝F安vt＝0.4 J，选项C正确；在2 s内拉力做的功为Fvt＝0.8 J，选项D错误．
答案：BC
5．[2019·贵州黔南州三校联考]如图甲所示，空间存在B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是水平放置的平行长直导轨，其间距L＝0.2 m，R是连在导轨一端的电阻，ab是跨接在导轨上质量m＝0.1 kg的导体棒．从零时刻开始，对ab施加一个大小为F＝0.45 N、方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，滑动过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好，图乙是棒的v－t图象，其中AO是图象在O点的切线，AB是图象的渐近线．除R以外，其余部分的电阻均不计．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．已知当棒的位移为100 m时，其速度达到了最大速度10 m/s.求：
(1)R的阻值；
(2)在棒运动100 m过程中电阻R上产生的焦耳热．
解析：(1)由图乙得ab棒刚开始运动瞬间a＝2.5 m/s2，
则F－Ff＝ma，
解得Ff＝0.2 N.
ab棒最终以速度v＝10 m/s匀速运动，则所受到拉力、摩擦力和安培力的合力为零，F－Ff－F安＝0.
F安＝BIL＝BL＝.
联立可得R＝＝0.4 Ω.
(2)由功能关系可得(F－Ff)x＝mv2＋Q，
解得Q＝20 J.
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答案：(1)0.4 Ω (2)20 J
[技能提升练]
6．[2019·山东淄博模拟](多选)如图甲所示，左侧接有定值电阻R＝3 Ω的水平平行且足够长的粗糙导轨处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度B＝2 T，导轨间距L＝1 m．一质量m＝2 kg、接入电路的阻值r＝1 Ω的金属棒在拉力F的作用下由静止开始从CD处沿导轨向右加速运动，金属棒的v－x图象如图乙所示．若金属棒与导轨垂直且接触良好，与导轨间的动摩擦因数μ＝0.5，导轨电阻不计，取g＝10 m/s2，则金属棒从静止开始向右运动的位移为x1＝1 m的过程中，下列说法正确的是( )
A．金属棒中感应电流的方向为C→D
B．拉力F做的功为16 J
C．通过电阻的电荷量为0.25 C
D．定值电阻产生的焦耳热为0.75 J
解析：根据右手定则可知，金属棒中感应电流的方向为C→D，选项A正确．由图乙可得金属棒向右运动的位移为1 m时，速度v1＝2 m/s，金属捧运动过程中受到的安培力FA＝BL，若安培力是恒力，则金属棒克服安培力做的功WA＝FAx1＝vx1，但实际上安培力是变力，结合图乙图线与横轴围成的面积可得WA＝× J＝1 J，根据动能定理有WF－μmgx1－WA＝mv－0，得WF＝15 J，选项B错误．通过定值电阻的电荷量q＝＝0.5 C，选项C错误．克服安培力做的功转化为回路中的焦耳热，则定值电阻产生的焦耳热Q＝WA＝0.75 J，选项D正确．
答案：AD
7．[2019·领航高考冲刺卷]如图所示，水平固定足够长平行直轨道MM′N、PP′Q间距l＝2 m，M′P′为磁场边界，左侧粗糙无磁场，右侧光滑且有垂直轨道平面向下的匀强磁场B＝2 T．导体棒ab、cd质量、电阻均相等，分别为m＝2 kg，R＝2 Ω.现让cd棒静止在光滑区域某处(距M′P′足够远)，ab棒在与磁场边界M′P′左侧相距x＝3.6 m处获得初速度
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v0＝10 m/s.整个过程中导体棒与导轨始终保持垂直且接触良好，ab棒与粗糙导轨间的动摩擦因数μ＝0.5.重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)ab导体棒刚进入磁场瞬间回路的电流；
(2)求ab、cd最终的速度及ab进入磁场后系统产生的焦耳热．
解析：(1)设ab棒刚进入瞬间速度为v1，则从开始到刚进入过程：－μmgx＝mv－mv
解得v1＝8 m/s
进入瞬间，电动势E＝BLv1
解得E＝32 V
电流：I＝＝8 A
(2)ab进入后，ab、cd两棒系统动量守恒：mv1＝2mv2
解得：vab＝vcd＝4 m/s
由能量守恒定律：Q＝mv－·2mv
解得Q＝32 J
答案：(1)8 A (2)32 J
8．[2019·湖南宜章模拟]如图，一质量为m，边长为h的正方形金属线框abcd自某一高度由静止下落，依次经过两匀强磁场区域，且金属线框bc边的初始位置离磁场B1的上边界的高度为，两磁场的磁感应强度分别为B1和B2，且B1＝2B0，B2＝B0(B0已知)，两磁场的间距为H(H未知，但H>h)，线框进入磁场B1时，恰好做匀速运动，速度为v1(v1已知)，从磁场B1中穿出后又以v2匀速通过宽度也为h的磁场B2.
(1)求v1与v2的比值；
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(2)写出H与h的关系式；
(3)若地面离磁场B2的下边界的高度为h，求金属线框下落到地面所产生的热量．(用m、h、g表示)
解析：(1)金属线框分别进入磁场B1和B2后，做匀速运动，由平衡条件有BIh＝mg①
又金属线框切割磁感线，则I＝②
联立①②得v＝
所以＝＝.③
(2)金属线框进入磁场B1前和离开磁场B1后到进入磁场B2前，都是做只在重力作用下的运动，由运动学公式有
v＝2g·④
v－v＝2g(H－h)⑤
联立③④⑤得H＝.⑥
(3)产生的热量等于克服安培力做功，Q＝BIh·4h⑦
联立①⑦得Q＝4mgh.
答案：(1)1：4 (2)H＝ (3)4mgh
9．[2019·山东济宁模拟]如图甲所示，弯折成90°角的两根足够长金属导轨平行放置，形成左右两导轨平面，左导轨平面与水平面成53°角，右导轨平面与水平面成37°角，两导轨相距L＝0.2 m，导轨电阻不计．质量均为m＝0.1 kg的金属杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路．其中金属杆ab的电阻R＝0.2 Ω，金属杆cd的电阻忽略不计，两金属杆与导轨间的动摩擦因数均为μ＝0.5，整个装置处于磁感应强度大小B＝1.0 T，方向平行于左导轨平面且垂直右导轨平面向上的匀强磁场中．t＝0时刻开始，对ab杆施加一垂直ab杆且平行右导轨平面向下的力F，使ab杆以初速度v1沿右导轨平面匀速下滑．t＝1 s后，使ab做匀加速直线运动，t＝2 s后，又使ab杆沿导轨平面匀速下滑．整个过程中cd杆运动的v－t图象如图乙所示(其中第1 s、第3 s内图线为直线)．两杆下滑过程均保持与导轨垂直且接触良好，取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.求：
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(1)在第1秒内cd杆受到的安培力的大小；
(2)ab杆的初速度v1及第2 s末的速度v2；
(3)若第2 s内力F所做的功为9 J，求第2 s内ab杆所产生的焦耳热．
解析：(1)对cd杆，由v－t图象得：a1＝＝3 m/s2，
由牛顿第二定律得mgsin53°－μ(mgcos53°＋F安)＝ma1.
解得F安＝0.4 N.
(2)对ab杆，感应电动势E＝BLv1，
电流I＝，cd杆的安培力F安＝BIL，
解得v1＝2 m/s，
由题意得第3 s内cd的加速度a2＝－3 m/s2，
对cd杆，由牛顿第二定律得
mgsin53°－μ＝ma2，
解得v2＝8 m/s.
(3)由运动学知识得第2 s内ab杆的位移x2＝t＝5 m，
由动能定理得WF＋WG＋Wf＋W安＝mv－mv，又WF＝9 J，WG＝mgx2sin37°，
Wf＝－μmgx2cos37°，－W安＝Qab，解得：Qab＝7 J.
答案：(1)0.4 N (2)2 m/s 8 m/s (3)7 J
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