微专题
14
数列中的创新性问题
微专题14 数列中的创新性问题
题型一 新定义数列的创新型问题
例1
(2017江苏,19,16分) 对于给定的正整数
k
,若数列{
a
n
}满足:
a
n
-
k
+
a
n
-
k
+1
+
…
+
a
n
-1
+
a
n
+1
+
…
+
a
n
+
k
-1
+
a
n
+
k
=2
ka
n
对任意正整数
n
(
n
>
k
)总成立,则称数列{
a
n
}是“
P
(
k
)
数列”.
(1)证明:等差数列{
a
n
}是“
P
(3)数列”;
(2)若数列{
a
n
}既是“
P
(2)数列”,又是“
P
(3)数列”,证明:{
a
n
}是等差数列.
证明
(1)因为{
a
n
}是等差数列,设其公差为
d
,则
a
n
=
a
1
+(
n
-1)
d
,
从而,当
n
≥
4时,
a
n
-
k
+
a
n
+
k
=
a
1
+(
n
-
k
-1)
d
+
a
1
+(
n
+
k
-1)
d
=2
a
1
+2(
n
-1)
d
=2
a
n
,
k
=1,2,3,
所以
a
n
-3
+
a
n
-2
+
a
n
-1
+
a
n
+1
+
a
n
+2
+
a
n
+3
=6
a
n
,
因此等差数列{
a
n
}是“
P
(3)数列”.
(2)数列{
a
n
}既是“
P
(2)数列”,又是“
P
(3)数列”,因此,
当
n
≥
3时,
a
n
-2
+
a
n
-1
+
a
n
+1
+
a
n
+2
=4
a
n
,
①
当
n
≥
4时,
a
n
-3
+
a
n
-2
+
a
n
-1
+
a
n
+1
+
a
n
+2
+
a
n
+3
=6
a
n
.
②
由①知,
a
n
-3
+
a
n
-2
=4
a
n
-1
-(
a
n
+
a
n
+1
),
③
a
n
+2
+
a
n
+3
=4
a
n
+1
-(
a
n
-1
+
a
n
).
④
将③④代入②,得
a
n
-1
+
a
n
+1
=2
a
n
,其中
n
≥
4,
所以
a
3
,
a
4
,
a
5
,
…
是等差数列,设其公差为
d
'.
在①中,取
n
=4,则
a
2
+
a
3
+
a
5
+
a
6
=4
a
4
,所以
a
2
=
a
3
-
d
',
在①中,取
n
=3,则
a
1
+
a
2
+
a
4
+
a
5
=4
a
3
,所以
a
1
=
a
3
-2
d
',
所以数列{
a
n
}是等差数列,
【方法归纳】 解决数列新定义运算型创新问题时,对新定义信息的提取和
化归转化是解题的关键,也是解题的难点.
1-1
(2017江苏泰州中学模拟)若数列{
a
n
}中不超过
f
(
m
)的项的个数恰为
b
m
(
m
∈N
*
),则称数列{
b
m
}是数列{
a
n
}的生成数列,称相应的函数
f
(
m
)是数列{
a
n
}生
成{
b
m
}的控制函数.
(1)已知
a
n
=
n
2
,且
f
(
m
)=
m
2
,写出
b
1
、
b
2
、
b
3
;
(2)已知
a
n
=2
n
,且
f
(
m
)=
m
,求{
b
m
}的前
m
项和
S
m
.
解析
(1)
b
1
=1,
b
2
=2,
b
3
=3.
(2)
m
为偶数时,{
a
n
}中有
项满足题意,则
b
m
=
;
m
为奇数时,{
a
n
}中有
项满足题意,则
b
m
=
,
故
b
m
=
m
为偶数时,
S
m
=
b
1
+
b
2
+
…
+
b
m
=
(1+2+
…
+
m
)-
·
=
;
m
为奇数时,
S
m
=
S
m
+1
-
b
m
+1
=
-
=
.
故
S
m
=
题型二 新定义性质型创新问题
例2
(2018南师附中、天一、海门、淮阴四校联考)设数列{
a
n
}的首项为1,
前
n
项和为
S
n
,若对任意的
n
∈N
*
,均有
S
n
=
a
n
+
k
-
k
(
k
是常数且
k
∈N
*
)成立,则称数列
{
a
n
}为“
P
(
k
)数列”.
(1)若数列{
a
n
}为“
P
(1)数列”,求数列{
a
n
}的通项公式;
(2)是否存在数列{
a
n
}既是“
P
(
k
)数列”,也是“
P
(
k
+2)数列”?若存在,求出符
合条件的数列{
a
n
}的通项公式及对应的
k
的值;若不存在,请说明理由;
(3)若数列{
a
n
}为“
P
(2)数列”,
a
2
=2,设
T
n
=
+
+
+
…
+
,证明:
T
n
0,故
T
n
<
+
T
n
,即
T
n
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