江苏专用2019高考数学二轮复习专题六数列第18讲等差数列等比数列的基本问题课件.pptx

专题六 数列 第 18 讲　等差数列、等比数列的基本问题 第18讲　等差数列、等比数列的基本问题     1.已知{ a n }是公差不为0的等差数列, S n 是其前 n 项和,若 a 2 a 3 = a 4 a 5 , S 9 =27,则 a 1 的 值是 　　　     . 答案 　-5 解析 　设等差数列{ a n }的公差为 d ( d ≠ 0), S 9 =   =9 a 5 =27, a 5 =3,则由 a 2 a 3 = a 4 a 5 得(3-3 d )(3-2 d )=3(3- d ),解得 d =2,则 a 1 = a 5 -4 d =3-8=-5. 2.已知等差数列{ c n }的首项 c 1 =1.若{2 c n +3}为等比数列,则 c 2 017 = 　　　      . 答案 　1 解析 　设等差数列{ c n }的公差为 d ,因为 c 1 =1,则2 c 1 +3=5,2 c 2 +3=2 d +5,2 c 3 +3=4 d + 5,由{2 c n +3}为等比数列得(2 c 1 +3)·(2 c 3 +3)=(2 c 2 +3) 2 ,则5(4 d +5)=(2 d +5) 2 ,解得 d = 0,则 c 2 017 = c 1 =1. 3.等差数列{ a n }的前 m 项( m 为奇数)之和为77,其中偶数项之和为33,且 a 1 - a m =1 8,则{ a n }的通项公式为 　　 　　　　     . 答案      a n =-3 n +23 解析      S 偶 = a 2 + a 4 + … + a m -1 =     =33, S 奇 = a 1 + a 3 + … + a m =     =44,则   =   =   , 所以 m =7, a 4 =11. a 1 - a m =-( m -1) d =-6 d =18,所以 d =-3. 所以 a n = a 4 +( n -4) d =11-3( n -4)=-3 n +23. 4.已知数列{ a n }中, a 1 =1, a 2 =4, a 3 =10.若{ a n +1 - a n }是等比数列,则   a i = 　　 　     . 答案 　3 049 解析      a 2 - a 1 =3, a 3 - a 2 =6,则等比数列{ a n +1 - a n }的公比是2,则 a n +1 - a n =3 × 2 n -1 ,则 a n = a 1 + ( a 2 - a 1 )+( a 3 - a 2 )+ … +( a n - a n -1 )=1+3 × (1+2+2 2 + … +2 n -2 )=1+3 ×   =3 × 2 n -1 -2,则   a i = 3 × (1+2+2 2 + … +2 9 )-20=3 ×   -20=3(2 10 -1)-20=3 049. 5.数列{ a n }中, a 1 =8, a 4 =2,且满足 a n +2 =2 a n +1 - a n , n ∈N * , S n =| a 1 |+| a 2 |+ … +| a n |,则 S n = 　     　 　　　　     . 答案        解析 　由 a n +2 =2 a n +1 - a n , n ∈N * 可得数列{ a n }是等差数列.又 a 1 =8, a 4 =2,则公差 d =- 2, a n =8-2( n -1)=10-2 n ,当 a n ≥ 0时,即10-2 n ≥ 0时, n ≤ 5,所以当1 ≤ n ≤ 5, n ∈N * 时, S n = a 1 + a 2 + … + a n =- n 2 +9 n ;当 n ≥ 6时, S n = a 1 + … + a 5 -( a 6 + … + a n )= n 2 -9 n +40, 综上可得, S n =   题型一　等差、等比数列的运算 例1 　(1)(2018徐州高三考前模拟)设 S n 为等差数列{ a n }的前 n 项和,若 a 1 + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 =10,   -   =36,则 S 10 的值为 　　　     ; (2)(2018扬州高三第三次调研)已知{ a n }是等比数列, S n 是其前 n 项和.若 a 3 =2, S 12 =4 S 6 ,则 a 9 的值为 　　　     . 答案 　(1)   　(2)2或6 解析 　(1)因为{ a n }是等差数列,所以 a 1 + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 =5 a 5 =10,即 a 5 =2,设公差为 d , 则   -   =( a 8 + a 2 )( a 8 - a 2 )=2 a 5 × 6 d =24 d =36, d =   ,则 a 6 = a 5 + d =   , S 10 =   =5( a 5 + a 6 )=   . (2)由 S 12 =4 S 6 得等比数列的公比 q ≠ 1,则   =   ,化简得1- q 12 =4(1- q 6 ),解得 q 6 =1或 q 6 =3,又 a 3 =2,则 a 9 = a 3 q 6 =2或6. 【方法归纳】    (1)灵活应用等差数列、等比数列的性质可简化运算,如{ a n } 是等差数列,且 m + n = p + q , m , n , p , q ∈N * ,则 a m + a n = a p + a q ,特别地, m + n =2 p , m , n , p ∈N * ,则 a m + a n =2 a p ;如{ a n }是等比数列,且 m + n = p + q , m , n , p , q ∈N * ,则 a m a n = a p a q ,特别地, m + n =2 p , m , n , p ∈N * ,则 a m a n =   . (2)通项公式中含参数的数列成等差数列或等比数列时,一般利用特殊值法建 立方程求参数的值. (3)进行运算求解时要注意等价,如本例(2)容易漏解,判断出 q ≠ 1后从“1- q 12 = 4(1- q 6 )”两边同时约去1- q 6 导致遗漏2,即 q =-1的情况,所以在约分时要慎重. 1-1     (2015江苏扬州中学高三第四次模拟)已知数列{ a n }与   ( n ∈N * )均为 等差数列,且 a 1 =2,得 a 10 = 　　     . 答案 　20 解析 　设等差数列{ a n }的公差为 d ,则由   ( n ∈N * )为等差数列,且 a 1 =2,得   = 4,   =   ,   =   成等差数列,则4+   =2 ×   ,解得 d =2,故 a 10 = a 1 +9 d =20. 题型二　等差、等比数列的证明 例2     (2018江苏五校高三学情检测)已知数列{ a n },{ b n }满足: b n = a n +3 a n +1 , n ∈N * . (1)若 b n = n , a 2 + a 3 =0,求 a 1 的值; (2)设 a n = b n + b n +1 , a 1 =-1, a 2 =   ,求证:数列{ b n }从第2项起成等比数列; (3)若数列{ b n }成等差数列,且 b 1 =5 a 2 - a 3 ,试判断数列{ a n }是否成等差数列?并证 明你的结论. 解析 　(1)当 n =1,2时,可得 a 1 +3 a 2 =1, a 2 +3 a 3 =2,又 a 2 + a 3 =0,从而可得 a 1 =4. (2)证明:由 a 1 =-1, a 2 =   ,可得 b 1 = a 1 +3 a 2 =-   , b 2 = a 1 - b 1 =-   ,又因为 b n = a n +3 a n +1 , a n = b n + b n +1 , 所以 b n =( b n + b n +1 )+3( b n +1 + b n +2 ),即4 b n +1 =-3 b n +2 , n ∈N * . 又 b 2 =-   ≠ 0,所以 b n +1 =-   b n , n ∈N * 且 n ≥ 2,所以数列{ b n }从第2项起成等比数列. (3){ a n }成等差数列.证明如下: 由 b 1 =5 a 2 - a 3 可得 a 1 +3 a 2 =5 a 2 - a 3 ,即 a 3 -2 a 2 + a 1 =0; 由 b n = a n +3 a n +1 可得 b n +1 = a n +1 +3 a n +2 , b n +2 = a n +2 +3 a n +3 . 又因为数列{ b n }成等差数列,从而 b n +2 - b n +1 = b n +1 - b n , 即 b n +2 -2 b n +1 + b n =0, 从而 b n +2 -2 b n +1 + b n =( a n +2 +3 a n +3 )-2( a n +1 +3 a n +2 )+( a n +3 a n +1 )=0, 即 a n +2 -2 a n +1 + a n =-3( a n +3 -2 a n +2 + a n +1 ), 所以 a n +2 -2 a n +1 + a n = a n -1 ( a 3 -2 a 2 + a 1 )=0,故 a n +2 - a n +1 = a n +1 - a n , 所以数列{ a n }成等差数列. 【方法归纳】    判断或证明数列是等差(等比)数列的两种方法 ①定义法:对于任意自然数 n ( n ≥ 1),验证 a n +1 - a n   为同一常数. ②中项公式法:若2 a n = a n -1 + a n +1 ( n ∈N * , n ≥ 2),则{ a n }为等差数列;若   = a n -1 · a n +1 ( a n ≠ 0, n ∈N * , n ≥ 2),则{ a n }为等比数列. 利用递推公式证明等差或等比数列,一般利用等差、等比中项法,利用通项公 式证明等差或等比数列,一般利用定义法. 2-1     (2018南通高三第二次调研)设等比数列 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 的公比为 q ,等差数列 b 1 , b 2 , b 3 , b 4 的公差为 d ,且 q ≠ 1, d ≠ 0.记 c i = a i + b i ( i =1,2,3,4). (1)求证:数列 c 1 , c 2 , c 3 不是等差数列; (2)设 a 1 =1, q =2.若数列 c 1 , c 2 , c 3 是等比数列,求 b 2 关于 d 的函数关系式及其定义域; (3)数列 c 1 , c 2 , c 3 , c 4 能不能为等比数列?并说明理由. 解析 　(1)证明:假设数列 c 1 , c 2 , c 3 是等差数列, 则2 c 2 = c 1 + c 3 ,即2( a 2 + b 2 )=( a 1 + b 1 )+( a 3 + b 3 ). 因为 b 1 , b 2 , b 3 是等差数列,所以2 b 2 = b 1 + b 3 , 从而2 a 2 = a 1 + a 3 . 又因为 a 1 , a 2 , a 3 是等比数列,所以   = a 1 a 3 . 所以 a 1 = a 2 = a 3 ,这与 q ≠ 1矛盾,从而假设不成立. 所以数列 c 1 , c 2 , c 3 不是等差数列. (2)因为 a 1 =1, q =2,所以 a n =2 n -1 ( n =1,2,3,4). 因为   = c 1 c 3 ,所以(2+ b 2 ) 2 =(1+ b 2 - d )(4+ b 2 + d ), 即 b 2 = d 2 +3 d , 由 c 2 =2+ b 2 ≠ 0,得 d 2 +3 d +2 ≠ 0,所以 d ≠ -1且 d ≠ -2. 又 d ≠ 0,所以 b 2 = d 2 +3 d ,定义域为{ d ∈R| d ≠ -1, d ≠ -2, d ≠ 0}. (3)设 c 1 , c 2 , c 3 , c 4 成等比数列,其公比为 q 1 , 则   将①+③-2 × ②得, a 1 ( q -1) 2 = c 1 ( q 1 -1) 2 ,⑤ 将②+④-2 × ③得, a 1 q ( q -1) 2 = c 1 q 1 ( q 1 -1) 2 ,⑥ 因为 a 1 ≠ 0, q ≠ 1,得 c 1 ≠ 0, q 1 ≠ 1. 由⑤⑥得 q = q 1 ,从而 a 1 = c 1 . 代入①得 b 1 =0. 再代入②,得 d =0,与 d ≠ 0矛盾. 所以 c 1 , c 2 , c 3 , c 4 不成等比数列. 题型三　等差、等比数列的综合问题 例3     (2018江苏,14,5分)已知 A ={ x | x =2 n -1, n ∈N * }, B ={ x | x =2 n , n ∈N * }.将 A ∪ B 的 所有元素从小到大依次排列构成一个数列{ a n }.记 S n 为数列{ a n }的前 n 项和,则 使得 S n >12 a n +1 成立的 n 的最小值为 　　　     . 答案 　27 解析 　本题考查数列的插项问题. 设 A n =2 n -1, B n =2 n , n ∈N * , 当 A k < B l < A k +1 ( k , l ∈N * )时, 2 k -1