第20讲 数列的综合应用
1.(2018江苏淮阴中学高三阶段考试)正项等比数列{an}中,a1=12,a3+a5=10,则log2a1+log2a2+…+log2a10= .
2.(2018江苏常州模拟)各项均为正数的等比数列{an}中,若a2a3a4=a2+a3+a4,则a3的最小值为 .
3.(2018江苏南京多校高三上学期第一次段考)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列,则△ABC最大角的余弦值为 .
4.(2017江苏盐城模拟)已知数列{an}满足an=2an-1-2,n=2k+1,an-1+1,n=2k(k∈N*),若a1=1,则S20= .
5.(2018徐州铜山高三第三次模拟)设Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=2am,则m= .
6.(2018江苏盐城高三(上)期中)设数列{an}共有4项,满足a1>a2>a3>a4≥0,若对任意的i,j(1≤i≤j≤4,且i,j∈N*),ai-aj仍是数列{an}中的某一项.现有下列命题:①数列{an}一定是等差数列;②存在1≤ik)恒成立,则称数列{an}是“R(k)数列”.
(1)已知an=2n-1,n为奇数,2n,n为偶数,判断数列{an}是不是“R(2)数列”,并说明理由;
(2)已知数列{bn}是“R(3)数列”,且存在整数p(p>1),使得b3p-3,b3p-1,b3p+1,b3p+3成等差数列,证明:{bn}是等差数列.
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答案精解精析
1.答案 35
解析 设正项等比数列{an}的公比为q,q>0,则a3+a5=12q2+12q4=10,q=2,an=12×2n-1=2n-2,log2an=n-2,则log2a1+log2a2+…+log2a10=-1+0+1+…+8=10×72=35.
2.答案 3
解析 a2a3a4=a2+a3+a4,a33=a3q+a3+a3q,a32=1q+q+1≥3,a3>0,则a3≥3,当且仅当q=1时取等号,则a3的最小值为3.
3.答案 -24
解析 设三角形的三边长为a2,a,2a,则最大角的余弦值为a22+a2-2a22×a22=-24.
4.答案 2056
解析 a1=1,a2=2,a3=2,a4=3,a5=4,a6=5,…,奇数项是等比数列,偶数项比前面相邻的奇数项多1,则S20=2S奇+10=1-2101-2×2+10=2056.
5.答案 8
解析 设等比数列{an}的公比为q,由S3,S9,S6成等差数列,得S3+S6=2S9,则(a1+a2+a3)(2+q3)=2(a1+a2+a3)(1+q3+q6),a1+a2+a3≠0,则2+q3=2+2q3+2q6,q3=-12,则a2+a5=a2+a2q3=12a2=2am=2a2qm-2,14=-12m-23,m-23=2,m=8.
6.答案 ①②③
解析 根据题意:对任意i,j(1≤i≤j≤4),有ai-aj仍是该数列的某一项,令i=j,则0为数列的某一项,即a4=0,则a3-a4=a3∈{an},a3>0.
必有a2-a3=a3,即a2=2a3,而a1-a2=a2或a3,
若a1-a2=a2,则a1=4a3,a1-a3=3a3,而3a3≠a2,a3,a4,舍去;
若a1-a2=a3∈{an},此时a1=3a3,可得数列{an}为3a3,2a3,a3,0(a3>0).
据此分析选项:易得①②③正确.
7.解析 (1)当n为奇数时,an+1-an=2(n+1)-(2n-1)=3>0,所以an+1≥an.
an-2+an+2=2(n-2)-1+2(n+2)-1=2(2n-1)=2an;
当n为偶数时,an+1-an=2(n+1)-1-2n=1>0,所以an+1≥an.
3
an-2+an+2=2(n-2)+2(n+2)=4n=2an.
所以,数列{an}是“R(2)数列”.
(2)证明:由题意可得bn-3+bn+3=2bn,
则数列b1,b4,b7,…是等差数列,设其公差为d1,
数列b2,b5,b8,…是等差数列,设其公差为d2,
数列b3,b6,b9,…是等差数列,设其公差为d3.
因为bn≤bn+1,所以b3n+1≤b3n+2≤b3n+4,
所以b1+nd1≤b2+nd2≤b1+(n+1)d1,
所以n(d2-d1)≥b1-b2①,n(d2-d1)≤b1-b2+d1②.
若d2-d1b1-b2d2-d1时,①不成立;
若d2-d1>0,则n>b1-b2+d1d2-d1时,②不成立;
若d2-d1=0,则①和②都成立,所以d1=d2.
同理得:d1=d3,所以d1=d2=d3,记d1=d2=d3=d.
设b3p-1-b3p-3=b3p+1-b3p-1=b3p+3-b3p+1=λ,
则b3n-1-b3n-2=b3p-1+(n-p)d-[b3p+1+(n-p-1)d]
=b3p-1-b3p+1+d=d-λ.
同理可得:b3n-b3n-1=b3n+1-b3n=d-λ,所以bn+1-bn=d-λ,
所以{bn}是等差数列.
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