第18讲 等差数列、等比数列的基本问题
1.(2018江苏溧水中学月考)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和,若a1=1,ak+a4=0,则k= .
2.(2018江苏苏州高三上学期期中)已知在等比数列{an}中,a3=2,a4a6=16,则a7-a9a3-a5= .
3.(2018江苏南通中学高三考前冲刺练习)已知等差数列{an}的公差d=3,Sn是其前n项和,若a1,a2,a9成等比数列,则S5的值为 .
4.(2018南通高三第二次调研)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3,S9,S6成等差数列,且a8=3,则a5= .
5.设数列{an}的首项a1=1,且满足a2n+1=2a2n-1与a2n=a2n-1+1,则数列{an}的前20项和为 .
6.(2018江苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10S5=4,则4a1d= .
7.已知Sn为数列{an}的前n项和,若a1=2,且Sn+1=2Sn,设bn=log2an,则1b1b2+1b2b3+…+1b10b11的值是 .
8.(2018扬州高三第三次调研)已知实数a,b,c成等比数列,a+6,b+2,c+1成等差数列,则b的最大值为 .
9.(2018扬州高三第三次调研)已知数列{an}满足an+1+(-1)nan=n+52(n∈N*),数列{an}的前n项和为Sn.
(1)求a1+a3的值;
(2)若a1+a5=2a3.
①求证:数列{a2n}为等差数列;
②求满足S2p=4S2m(p,m∈N*)的所有数对(p,m).
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10.(2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))已知等差数列{an}的首项为1,公差为d,数列{bn}的前n项和为Sn,若对任意的n∈N*,6Sn=9bn-an-2恒成立.
(1)如果数列{Sn}是等差数列,证明数列{bn}也是等差数列;
(2)如果数列bn+12为等比数列,求d的值;
(3)如果d=3,数列{cn}的首项为1,cn=bn-bn-1(n≥2),证明数列{an}中存在无穷多项可表示为数列{cn}中的两项之和.
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答案精解精析
1.答案 10
解析 S9=S4,则9a1+36d=4a1+6d,a1+6d=a7=0,则a4+a10=2a7=0,则k=10.
2.答案 4
解析 等比数列中奇数项符号相同,a3>0,则a5>0,又a4a6=a52=16,则a5=4,从而a7=8,a9=16,则a7-a9a3-a5=-8-2=4.
3.答案 652
解析 由题意可得a1a9=a22,则由a1(a1+24)=(a1+3)2,解得a1=12,则S5=5×12+5×42×3=652.
4.答案 -6
解析 由S3,S9,S6成等差数列可得S3+S6=2S9,当等比数列{an}的公比q=1时不成立,则q≠1,a1(1-q3)1-q+a1(1-q6)1-q=2a1(1-q9)1-q,化简得2q6-q3-1=0,q3=-12(舍去1),则a5=a8q3=-6.
5.答案 2056
解析 由题意可得奇数项构成等比数列,则a1+a3+…+a19=1-2101-2=1023,偶数项a2+a4+…+a20=(a1+1)+(a3+1)+…+(a19+1)=1033,故数列{an}的前20项和为2056.
6.答案 2
解析 由S10S5=4得S10=4S5,即10a1+45d=4(5a1+10d),则4a1d=2.
7.答案 1910
解析 由Sn+1=2Sn,且S1=a1=2,得数列{Sn}是首项、公比都为2的等比数列,则Sn=2n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,a1=2不适合,则an=2,n=1,2n-1,n≥2,故bn=1,n=1,n-1,n≥2,所以1b1b2+1b2b3+…+1b10b11=1+11×2+12×3+…+19×10=1+1-12+12-13+…+19-110=2-110=1910.
8.答案 34
解析 设等比数列a,b,c的公比为q(q≠0),则a=bq,c=bq,又a+6=bq+6,b+2,c+1=bq+1成等差数列,则bq+6+(bq+1)=2(b+2),化简得b=32-q+1q,当b最大时q
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