江苏专用2019高考数学二轮复习专题六数列微专题13数列中的探索性问题课件.pptx

微专题 13 数列中的探索性问题 微专题13　数列中的探索性问题     题型一　新定义数列的探究型问题 例1     (2018江苏扬州高三模拟) 已知数列{ a n }中, a 1 =1,前 n 项和为 S n ,若对任意 的 n ∈N * ,均有 S n = a n + k - k ( k 是常数,且 k ∈N * )成立,则称数列{ a n }为“ H ( k )数列”. (1)若数列{ a n }为“ H (1)数列”,求数列{ a n }的前 n 项和 S n ; (2)若数列{ a n }为“ H (2)数列”,且 a 2 为整数,试问:是否存在数列{ a n },使得|   - a n - 1 a n +1 | ≤ 40对任意 n ≥ 2, n ∈N * 成立?如果存在,求出这样数列{ a n }的 a 2 的所有可能 值,如果不存在,请说明理由. 解析 　(1)因为数列{ a n }为“ H (1)数列”,所以 S n = a n +1 -1,故 S n -1 = a n -1( n ≥ 2),两式 相减得 a n +1 =2 a n ( n ≥ 2), 在 S n = a n +1 -1中令 n =1,则可得 a 2 =2,故 a 2 =2 a 1 . 所以   =2( n ∈N * ),所以数列{ a n }为等比数列,所以 a n =2 n -1 ,所以 S n =2 n -1. (2)由题意得 S n = a n +2 -2,故 S n -1 = a n +1 -2( n ≥ 2), 两式相减得 a n +2 = a n +1 + a n ( n ≥ 2), 所以,当 n ≥ 2时,   - a n a n +2 =   - a n ( a n +1 + a n )= a n +1 ( a n +1 - a n )-   , 又因为 a n +1 - a n = a n -1 ( n ≥ 3), 所以   - a n a n +2 = a n +1 ( a n +1 - a n )-   = a n +1 a n -1 -   , 所以|   - a n a n +2 |=|   - a n +1 a n -1 |( n ≥ 3), 所以当 n ≥ 3时,数列{|   - a n +1 a n -1 |}是常数列, 所以|   - a n +1 a n -1 |=|   - a 2 a 4 |( n ≥ 3), 因为 a 4 = a 3 + a 2 ,所以|   - a n +1 a n -1 |=|   - a 2 a 3 -   |( n ≥ 3). 在 S n = a n +2 -2中令 n =1,则可得 a 3 =3,所以|9-3 a 2 -   | ≤ 40, 又 n =2时|   - a 1 a 3 |=|   -3| ≤ 40,且 a 2 为整数, 所以可解得 a 2 =0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5,-6. 【方法归纳】    对于新定义数列中的探究性问题,读懂、理解新数列的定义 是重点.一般而言,这类题目考查的难点已在新定义中体现,后续反而不会太 难,但需要具备举一反三的能力,结合原有数列知识去探求出题目所要求的条 件,大胆尝试、总结. 1-1     (2018泰州中学高三检测)数列{ a n }对于确定的正整数 m ,若存在正整数 n 使得 a m + n = a m + a n 成立,则称数列{ a n }为“ m 阶可分拆数列”. (1)设{ a n }是首项为2,公差为2的等差数列,证明{ a n }为“3阶可分拆数列”; (2)设数列{ a n }的前 n 项和为 S n =2 n - a ( a >0),若数列{ a n }为“1阶可分拆数列”,求 实数 a 的值; (3)设 a n =2 n + n 2 +12,试探求是否存在 m 使得若数列{ a n }为“ m 阶可分拆数列”. 若存在,请求出所有 m ;若不存在,请说明理由. 解析 　(1)证明: a n =2+2( n -1)=2 n , a 3 =6, 则 a 3+ n =2 × (3+ n )=6+2 n = a 3 + a n . ∴{ a n }为“3阶可分拆数列”. (2) S n =2 n - a ( a >0), a 1 = S 1 =2- a , n ≥ 2时, a n = S n - S n -1 =2 n - a -(2 n -1 - a )=2 n -1 . ∵数列{ a n }为“1阶可分拆数列”, ∴ a n +1 = a 1 + a n ,∴2 n =2- a +2 n -1 ,∴ a =2-2 n -1 . 令 n =1时, a =1. (3)假设数列{ a n }为“ m 阶可分拆数列”. 则 a m + n = a m + a n 成立,∴2 n + m +( n + m ) 2 +12=2 m + m 2 +12+2 n + n 2 +12, 化为2 n + m +2 mn =2 m +2 n +12, ∴(2 m -1)(2 n -1)+2 mn =13. 可得: m =1, n =3; m =2, n 不存在; m =3, n =1; m ≥ 4时 n 不存在. ∴只有两组: m =1, n =3; m =3, n =1. 题型二　探究数列中是否存在满足条件的项的问题 例2     (2018扬州高三考前调研)已知无穷数列{ a n }的各项都不为零,其前 n 项 和为 S n ,且满足 a n · a n +1 = S n ( n ∈N * ),数列{ b n }满足 b n =   ,其中 t 为正整数. (1)求 a 2 018 ; (2)若不等式   +   < S n + S n +1 对任意 n ∈N * 都成立,求首项 a 1 的取值范围; (3)若首项 a 1 是正整数,则数列{ b n }中的任意一项是否总可以表示为数列{ b n }中 的其他两项之积?若是,请给出一种表示方式;若不是,请说明理由. 解析 　(1)令 n =1,则 a 1 a 2 = S 1 ,即 a 1 a 2 = a 1 ,又 a 1 ≠ 0,故 a 2 =1. 由 a n · a n +1 = S n ,得 a n +1 · a n +2 = S n +1 ,两式相减得( a n +2 - a n ) a n +1 = a n +1 ,又 a n +1 ≠ 0,故 a n +2 - a n =1. 所以数列{ a 2 n }是首项为1、公差为1的等差数列. 所以 a 2018 = a 2 +   × 1=1 009. (2)由(1)知,数列{ a 2 n }是首项为1,公差为1的等差数列;数列{ a 2 n -1 }是首项为 a 1 ,公 差为1的等差数列, 故 a n =   所以 S n =   ①当 n 是奇数时,   +   < S n + S n +1 ,即   +   <   +   , 即   -2 a 1 <   对任意正奇数 n 恒成立,所以   -2 a 1 0),可得   2>2 c 不可能成立; 当   < q 2,得 q n log q (2 q -1). 因为   < q 1, 即当 n >log q (2 q -1)时, S n >2,所以 S n lo   (1- c )时, S n